Question

【题目】如图抛物线y＝x2+bx+c（c＜0）与x轴交于A、B两点，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，且OB＝OC＝3，点E为线段BD上的一个动点，EF⊥x轴于F．

（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在点E，使△ECF为直角三角形？若存在，求点E的坐标；不存在，请说明理由；

（3）连接AC、BC，若点P是抛物线上的一个动点，当P运动到什么位置时，∠PCB＝∠ACO，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）存在，(，﹣3)或(3﹣3，6﹣12)；（3）(，﹣)或(4，5)

【解析】

（1）易求得点B，C坐标，即可求得b、c的值，即可解题；

（2）易求得顶点D的坐标，即可求得直线BD的解析式，根据∠CEF＝90°，即可求得点E纵坐标为﹣3，即可解题；

（3）存在2种情况：①∠PCB＝∠ACO，②∠P'CB＝∠ACO，可分别求得tan∠PCE的值，即可求得直线PC斜率，即可求得直线PC于抛物线交点P坐标，即可解题．

解：（1）∵OB＝OC＝3，

∴点B坐标为（3，0），点C坐标为（0，﹣3），

∵抛物线y＝x2+bx+c经过点B，C，∴，

解得：c＝﹣3，b＝﹣2，

∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；

（2）∵抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，

∴点D坐标为（1，﹣4），

∵直线BD经过点B，D，设直线BD解析式为y＝kx+b，

则，

解得：k＝2，b＝﹣6，

∴直线BD解析式为y＝2x﹣6，

∵△ECF为直角三角形，

当∠CEF＝90°时，E点纵坐标和等于C点纵坐标，

∴点E纵坐标为﹣3，

∴点E横坐标为，

∴点E坐标为（，﹣3）；

当∠FCE＝90°时，

∵EF⊥x轴，所以易得△CFO∽FEC，

∴，即EFOC＝CF2，＝OF2+OC2，

设OF＝m，因此F的坐标为（m，0）代入直线BD的方程y＝2x﹣6得E的坐标为（m，2m﹣6），

∴EF＝6﹣2m，

∴（6﹣2m）×3＝m2+9，解得m＝3﹣3（负值舍去），

∴点E的坐标为（3﹣3，6﹣12）

综上可得存在这样的点E，E点的坐标为(，﹣3)或(3﹣3，6﹣12)．

（3）存在2种情况：

①∠PCB＝∠ACO，

∵∠BCE＝45°，

∴tan∠BCE＝1，

∵tan∠ACO＝，

∴tan∠PCB＝，

∴tan∠PCE＝tan（∠BCE﹣∠PCB）＝，

∵直线PC经过点P，

∴直线PC解析式为：y＝x﹣3，

∴点P坐标为：(，﹣)，

②∠P'CB＝∠ACO，

∵∠BCE＝45°，

∴tan∠BCE＝1，

∵tan∠ACO＝，

∴tan∠P'CB＝，

∴tan∠P'CE＝tan（∠BCE﹣∠P'CB）＝，

∵直线PC经过点P，

∴直线PC解析式为：y＝2x﹣3，

∴点P坐标为：(4，5)．