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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BACBC于点D,OAB上一点,经过点A,D⊙O分别交AB,AC于点E,F,连接OFAD于点G.

(1)求证:BC⊙O的切线;

(2)AB=x,AF=y,试用含x,y的代数式表示线段AD的长;

(3)BE=8,sinB=,求DG的长,

【答案】(1)证明见解析;(2)AD=;(3)DG=

【解析】

(1)连接OD,由AD为角平分线得到一对角相等,再由等边对等角得到一对角相等,等量代换得到内错角相等,进而得到ODAC平行,得到ODBC垂直,即可得证;
(2)连接DF,由(1)得到BC为圆O的切线,由弦切角等于夹弧所对的圆周角,进而得到三角形ABD与三角形ADF相似,由相似得比例,即可表示出AD;
(3)连接EF,设圆的半径为r,由sinB的值,利用锐角三角函数定义求出r的值,由直径所对的圆周角为直角,得到EFBC平行,得到sinAEF=sinB,进而求出DG的长即可.

(1)如图,连接OD,

AD为∠BAC的角平分线,

∴∠BAD=CAD,

OA=OD,

∴∠ODA=OAD,

∴∠ODA=CAD,

ODAC,

∵∠C=90°,

∴∠ODC=90°,

ODBC,

BC为圆O的切线;

(2)连接DF,由(1)BC为圆O的切线,

∴∠FDC=DAF,

∴∠CDA=CFD,

∴∠AFD=ADB,

∵∠BAD=DAF,

∴△ABD∽△ADF,

,即AD2=ABAF=xy,

AD=

(3)连接EF,在RtBOD中,sinB=

设圆的半径为r,可得

解得:r=5,

AE=10,AB=18,

AE是直径,

∴∠AFE=C=90°,

EFBC,

∴∠AEF=B,

sinAEF=

AF=AEsinAEF=10×=

AFOD,

,即DG=AD,

AD=

DG=

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