【题目】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,O为AB上一点,经过点A,D的⊙O分别交AB,AC于点E,F,连接OF交AD于点G.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)设AB=x,AF=y,试用含x,y的代数式表示线段AD的长;
(3)若BE=8,sinB=,求DG的长,
【答案】(1)证明见解析;(2)AD=;(3)DG=.
【解析】
(1)连接OD,由AD为角平分线得到一对角相等,再由等边对等角得到一对角相等,等量代换得到内错角相等,进而得到OD与AC平行,得到OD与BC垂直,即可得证;
(2)连接DF,由(1)得到BC为圆O的切线,由弦切角等于夹弧所对的圆周角,进而得到三角形ABD与三角形ADF相似,由相似得比例,即可表示出AD;
(3)连接EF,设圆的半径为r,由sinB的值,利用锐角三角函数定义求出r的值,由直径所对的圆周角为直角,得到EF与BC平行,得到sin∠AEF=sinB,进而求出DG的长即可.
(1)如图,连接OD,
∵AD为∠BAC的角平分线,
∴∠BAD=∠CAD,
∵OA=OD,
∴∠ODA=∠OAD,
∴∠ODA=∠CAD,
∴OD∥AC,
∵∠C=90°,
∴∠ODC=90°,
∴OD⊥BC,
∴BC为圆O的切线;
(2)连接DF,由(1)知BC为圆O的切线,
∴∠FDC=∠DAF,
∴∠CDA=∠CFD,
∴∠AFD=∠ADB,
∵∠BAD=∠DAF,
∴△ABD∽△ADF,
∴,即AD2=ABAF=xy,
则AD= ;
(3)连接EF,在Rt△BOD中,sinB=,
设圆的半径为r,可得,
解得:r=5,
∴AE=10,AB=18,
∵AE是直径,
∴∠AFE=∠C=90°,
∴EF∥BC,
∴∠AEF=∠B,
∴sin∠AEF=,
∴AF=AEsin∠AEF=10×=,
∵AF∥OD,
∴,即DG=AD,
∴AD=,
则DG=.
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【题目】如图,直线与轴、轴分别相交于点,点的坐标为(﹣8,0),点的坐标为(﹣6,0),点是第二象限内的直线上的一个动点,
(1)求k的值;
(2)在点的运动过程中,写出的面积与的函数表达式,并写出自变量的取值范围;
(3)探究:当运动到什么位置(求的坐标)时,的面积为,并说明理由.
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【题目】一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象如图,则下列结论中①k<0;②a>0;③当x<3时,y1>y2;④方程组的解是.正确的结论是_____(填序号)
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【题目】在直角坐标系中,O为坐标原点,A(1,1),在x轴上确定点P,使△AOP为等腰三角形,则符合条件的点P的个数共有( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
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【题目】如图,正方形网格中(每个小正方形的边长都为1个单位),在平面直角坐标系内,△OBC的顶点B、C分别为B(0,﹣4),C(2,﹣4).
(1)请在图中标出△OBC的外接圆的圆心P的位置,并填写:圆心P的坐标为 ;
(2)画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△OB1C1;
(3)在(2)的条件下,求出旋转过程中点C所经过分路径长(结果保留π).
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【题目】【阅读学习】 刘老师提出这样一个问题:已知α为锐角,且tanα=,求sin2α的值.
小娟是这样解决的:
如图1,在⊙O中,AB是直径,点C在⊙O上,∠BAC=α,所以∠ACB=90°,tanα==.
易得∠BOC=2α.设BC=x,则AC=3x,则AB=x.作CD⊥AB于D,求出CD= (用含x的式子表示),可求得sin2α== .
【问题解决】
已知,如图2,点M、N、P为圆O上的三点,且∠P=β,tanβ =,求sin2β的值.
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【题目】在平面直角坐标系中,点 A(﹣2,0),B(2,0),C(0,2),点 D,点E分别是 AC,BC的中点,将△CDE绕点C逆时针旋转得到△CD′E′,及旋转角为α,连接 AD′,BE′.
(1)如图①,若 0°<α<90°,当 AD′∥CE′时,求α的大小;
(2)如图②,若 90°<α<180°,当点 D′落在线段 BE′上时,求 sin∠CBE′的值;
(3)若直线AD′与直线BE′相交于点P,求点P的横坐标m的取值范围(直接写出结果即可).
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【题目】如图,四边形 ACDE 是证明勾股定理时用到的一个图形,a 、b 、c 是 RtABC和 RtBED 的边长,已知,这时我们把关于 x 的形如二次方程称为“勾系一元二次方程”.
请解决下列问题:
(1)写出一个“勾系一元二次方程”;
(2)求证:关于 x 的“勾系一元二次方程”,必有实数根;
(3)若 x 1是“勾系一元二次方程” 的一个根,且四边形 ACDE 的周长是6,求ABC 的面积.
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