Question

【题目】如图，△ABC是等边三角形，△BDC是顶角∠BDC=120°的等腰三角形，M是AB延长线上一点，N是CA延长线上一点，且∠MDN=60°．试探BM，MN，CN之间的数量关系，并给出证明．

Answer 1

【答案】CN=MN+BM，见解析

【解析】

采用“截长补短”法，在CN上截取点E，使CE=BM，连接DE，结合等边及等腰三角形的性质利用SAS可证△MBD≌△ECD，继而可证△MND≌△END，由全等的性质可得结论.

解：CN=MN+BM．证明：

如图，在CN上截取点E，使CE=BM，连接DE，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠ACB=∠ABC=60°．

又∵△BDC为等腰三角形，且∠BDC=120°，

∴BD=CD，∠DBC=∠BCD=30°．

∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠BCD=∠ECD=90°．

在△MBD和△ECD中，

∴△MBD≌△ECD（SAS）．

∴MD=ED，∠MDB=∠EDC．

又∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，

∴∠EDN=∠BDC-（∠BDN+∠EDC）=∠BDC-（∠BDN+∠MDB）=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°．

∴∠MDN=∠EDN．

在△MND与△END中，

∴△MND≌△END（SAS）．

∴MN=NE．

∴CN=NE+CE=MN+BM．