Question

【题目】阅读理解：如图1，若一个四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为垂美四边形．

（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由；

（2）性质探究：如图1，试在垂美四边形ABCD中探究AB2，CD2，AD2，BC2之间的关系，并说明理由；

（3）解决问题：如图3，分别以Rt△ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结CE、BG、GE、CE交BG于点N，交AB于点M．已知AC＝，AB＝2，求GE的长．

Answer 1

【答案】（1）四边形ABCD是垂直四边形，理由见解析；（2）AB2+CD2＝AD2+BC2，见解析；（3）

【解析】

（1）由题意直接根据垂直平分线的判定定理证明即可；

（2）由题意直接根据垂直的定义和勾股定理解答即可；

（3）由题意根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算．

解：（1）如图2，四边形ABCD是垂直四边形；

理由如下：

连接AC、BD交于点E，

∵AB＝AD，

∴点A在线段BD的垂直平分线上，

∵CB＝CD，

∴点C在线段BD的垂直平分线上，

∴直线AC是线段BD的垂直平分线，

∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；

（2）猜想结论：AB2+CD2＝AD2+BC2，

证明：如图1，在四边形ABCD中，

∵AC⊥BD，

∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，

由勾股定理得：AB2+CD2＝AO2+BO2+OD2+OC2AD2+BC2＝AO2+BO2+OD2+OC2

∴AB2+CD2＝AD2+BC2，

（3）如图3，连接CG，BE，

∵∠CAG＝∠BAE＝90°，

∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，

在△GAB和△CAE中，

∴△GAB≌△CAE（SSS），

∴∠ABG＝∠AEC，

∵∠AEC+∠AME＝90°，

∴∠ABG+∠BMN＝90°，

∴∠BNC＝90°，即BG⊥CE，

∴四边形CGEB是垂美四边形，

由（2）得：EG2+BC2＝CG2+BE2

∵，AB＝2，

∴BC＝1，，，

∴EG2＝CG2+BE2﹣BC2＝6+8﹣2＝13，

∴．