Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，DE⊥AC交AC的延长线于点E.

(1)求证：DE是⊙O的切线；

(2)若AD=BC，⊙O半径为6，求∠CAD与围成的阴影部分的面积.

Answer 1

【答案】（1）直线DE与⊙O相切，理由见解析；（2）6

【解析】

（1）连接OD，由AD为角平分线，得到一对角相等，再由OA=OD，得到一对角相等，通过等量代换得到一对内错角相等；根据上步结论可推理得到平行线，再结合AE⊥ED即可证得结论；

（2）先判断△COD是等边三角形，根据等底同高的三角形的面积相等可知S△ACD=S△COD，从而∠CAD与弧CD围成的阴影部分的面积=扇形COD的面积.

解：（1）直线DE与⊙O相切，

理由如下：连接OD，如图所示：

∵AD平分∠BAC，

∴∠EAD=∠OAD，

∵OA=OD，

∴∠ODA=∠OAD，

∴∠ODA=∠EAD，

∴EA∥OD，

∵DE⊥EA，

∴DE⊥OD，

又∵点D在⊙O上，

∴直线DE与⊙O相切；

（2）连接CD，OC.

∵AD=BC，

∴ 弧AD =弧BC ，

∴ 弧AC = 弧BD ，

∵ 弧CD = 弧BD ，

∴ 弧AC = 弧CD =弧BD，

∴∠COD=∠BOD=60°，

∵OC=OD，

∴△COD是等边三角形，

∴∠CDO=∠DOB=60°，

∴CD∥AB，

∴S△ACD=S△COD，

∴∠CAD与弧CD围成的阴影部分的面积=扇形COD的面积=.