Question

如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠ACB=90°，A（0，1），
C（-2，0），且

BC

AC

=3．
（1）求点B的坐标；
（2）将Rt△ABC沿x轴的正方向平移一定距离到Rt△A₁B₁C₁位置，A，B 两点的对应点A₁，B₁恰好落在反比例函数y=

k

x

的图象上，求反比例函数的解析式和点C₁的坐标；
（3）在（2）的条件下，点Q为反比例函数y=

k

x

（x＞0）的图象上的一点，问在x轴上是否存在点P，使得△PQC₁∽△ABC？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）首先过点B作BD⊥x轴，垂足为点D，易证得△BDC∽△COA，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案；
（2）首先由平移，设A₁（m，1），B₁（n，6），可得m-n=5，又由A₁，B₁恰好落在反比例函数y=

k

x

的图象上，得m=6n，即可求得m与n的值，继而求得反比例函数的解析式和点C₁的坐标；
（3）由要使△PQ C₁∽△ABC，则需∠PC₁Q=∠ACB=90°，然后过点C₁作C₁Q⊥x轴，交y=

6

x

为点Q，由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．

解答：解：（1）过点B作BD⊥x轴，垂足为点D，
则∠BDC=∠ACB=∠AOC=90°，
∴∠DCB+∠DBC=90°，∠DCB+∠ACO=90°，
∴∠DBC=∠ACO，
∴△BDC∽△COA，
∴

BD

CO

=

DC

AO

=

BC

AC

=3，
∵A（0，1），C（-2，0），
∴OA=1，OC=2，
∴BD=6，DC=3，
∴点B的坐标（-5，6）；

（2）由平移，设A₁（m，1），B₁（n，6），
由平移，得m-n=5，
由A₁，B₁恰好落在反比例函数y=

k

x

的图象上，得m=6n，
∴m=6，n=1，
∴反比例函数的解析式为：y=

6

x

，点C₁的坐标为：（4，0）；

（3）存在，要使△PQ C₁∽△ABC，则需∠PC₁Q=∠ACB=90°，
过点C₁作C₁Q⊥x轴，交y=

6

x

为点Q，
要使△PQC₁∽△ABC，由已知

BC

AC

=3，则需

C1Q

PC1

=3，
由C₁（4，0），得Q（4，

3

2

），
∴QC₁=

3

2

，PC₁=

1

2

，
∴点P的坐标（

7

2

，0），（

9

2

，0）．

点评：此题考查了反比例函数的性质、待定系数法求函数的解析式以及相似三角形的判定与性质．此题综合性较强，难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．