Question

2．如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，且BE：EC=2：1，AE与BD交于点F，则△AFD与四边形DFEC的面积之比是多少？

Answer 1

分析 根据题意，先设CE=x，S_△BEF=a，再求出S_△ADF的表达式，利用四部分的面积和等于正方形的面积，得到x与a的关系，那么两部分的面积比就可以求出来．

解答 解：设CE=x，S_△BEF=a，
∵CE=x，BE：CE=2：1，
∴BE=2x，AD=BC=CD=AD=3x；
∵BC∥AD∴∠EBF=∠ADF，
又∵∠BFE=∠DFA；
∴△EBF∽△ADF
∴S_△BEF：S_△ADF=（$\frac{BE}{AD}$）²=（$\frac{2x}{3x}$）²=$\frac{4}{9}$，那么S_△ADF=$\frac{9}{4}$a．
∵S_△BCD-S_△BEF=S_{四边形EFDC}=S_{正方形ABCD}-S_△ABE-S_△ADF，
∴$\frac{9}{2}$x²-a=9x²-$\frac{1}{2}$×3x•2x-$\frac{9}{4}$a，
化简可求出x²=$\frac{5}{6}$a；
∴S_△AFD：S_{四边形DEFC}=$\frac{9}{4}$a：（$\frac{9}{2}$x²-a）=$\frac{9}{4}$a：$\frac{11}{4}$a=9：11．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，还用到了相似三角形的面积比等于相似比的平方，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．