Question

【题目】方法感悟：

（1）如图①，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，AE=4，AF=2，是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．

问题解决：

（2）如图②，有一矩形板材ABCD，AB=3米，AD=6米，现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG=90°，EF=FG=米，∠EHG=45°，经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AF＜BF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件，试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积，并写出在以B为坐标原点，直线BC为x轴，直线BA为y轴的坐标系中，点H的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）存在得四边形EFGH的周长最小，最小值为2+10；

（2）当所裁得的四边形部件为四边形EFGH′时，裁得了符合条件的最大部件，这个部件的面积为（5+）m2，H(+3,1－)

【解析】分析: （1）作E关于CD的对称点E′，作F关于BC的对称点F′，连接E′F′，得到此时四边形EFGH的周长最小，根据轴对称的性质得到BF′＝BF＝AF＝2，DE′＝DE＝2，∠A＝90°，于是得到AF′＝6，AE′＝8，求出E′F′＝10，EF＝2即可得到结论；

（2）根据余角的性质得到1＝∠2，推出△AEF≌△BGF，根据全等三角形的性质得到AF＝BG，AE＝BF，设AF＝x，则AE＝BF＝3x根据勾股定理列方程得到AF＝BG＝1，BF＝AE＝2，作△EFG关于EG的对称△EOG，则四边形EFGO是正方形，∠EOG＝90°，以O为圆心，以EG为半径作⊙O，则∠EHG＝45°的点H在⊙O上，连接FO，并延长交⊙O于H′，则H′在EG的垂直平分线上，连接EH′GH′，则∠EH′G＝45°，于是得到四边形EFGH′是符合条件的最大部件，根据矩形的面积公式即可得到结论．

详解:

解：（1）存在，理由：作E关于CD的对称点E′，

作F关于BC的对称点F′，

连接E′F′，交BC于G，交CD于H，连接FG，EH，

则F′G=FG，E′H=EH，则此时四边形EFGH的周长最小，

由题意得：BF′=BF=AF=2，DE′=DE=2，∠A=90°，

∴AF′=6，AE′=8，

∴E′F′=10，EF=2，

∴四边形EFGH的周长的最小值=EF+FG+GH+HE=EF+E′F′=2+10，

∴在边BC、CD上分别存在点G、H，

使得四边形EFGH的周长最小，最小值为2+10；

（2）能裁得，

理由：∵EF=FG=，∠A=∠B=90°，∠1+∠AFE=∠2+AFE=90°，

∴∠1=∠2，

在△AEF与△BGF中， ，

∴△AEF≌△BGF，

∴AF=BG，AE=BF，

设AF=x，则AE=BF=3﹣x，

∴x2+（3﹣x）2=（）2，

解得：x=1，x=2（不合题意，舍去），

∴AF=BG=1，BF=AE=2，

∴DE=4，CG=5，

连接EG，作△EFG关于EG的对称△EOG，

则四边形EFGO是正方形，∠EOG=90°，

以O为圆心，以EG为半径作⊙O，

则∠EHG=45°的点在⊙O上，

连接FO，并延长交⊙O于H′，则H′在EG的垂直平分线上，

连接EH′GH′，则∠EH′G=45°，

此时，四边形EFGH′是要想裁得符合要求的面积最大的，

∴C在线段EG的垂直平分线设，

∴点F，O，H′，C在一条直线上，

∵EG=，

∴OF=EG=，

∵CF=2，

∴OC=，

∵OH′=OE=FG=，

∴OH′＜OC，

∴点H′在矩形ABCD的内部，

∴可以在矩形ABCD中，裁得符合条件的面积最大的四边形EFGH′部件，

这个部件的面积=EGFH′=××（+）=5+，

∴当所裁得的四边形部件为四边形EFGH′时，裁得了符合条件的最大部件，这个部件的面积为（5+）m2．H(+3,1－).

点睛: 本题考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，轴对称的性质，存在性问题，掌握的作出辅助线利用对称的性质解决问题是解题的关键．