【题目】已知如图 1,在△ABC 中,∠ACB=90°,BC=AC,点 D 在 AB 上,DE⊥AB交 BC 于 E,点 F 是 AE 的中点
(1) 写出线段 FD 与线段 FC 的关系并证明;
(2) 如图 2,将△BDE 绕点 B 逆时针旋转α(0°<α<90°),其它条件不变,线段 FD 与线段 FC 的关系是否变化,写出你的结论并证明;
(3) 将△BDE 绕点 B 逆时针旋转一周,如果 BC=4,BE=2,直接写出线段 BF 的范围.
【答案】(1)结论:FD=FC,DF⊥CF;(2)结论不变.(3)≤BF≤3.
【解析】
(1)根据直角三角形的性质先找出相关角、边的关系,利用等量代换得到结果.(2)旋转前后,图形的性质是不变的,据此可以直接找到旋转前后边角的关系,从而证明结论(3)要使BF最长,只有点E落在AB上即可要使BF最短,只有点E落在AB的延长线即可.
(1)结论:FD=FC,DF⊥CF.
理由:如图1中,
∵∠ADE=∠ACE=90°,AF=FE,
∴DF=AF=EF=CF,
∴∠FAD=∠FDA,∠FAC=∠FCA,
∴∠DFE=∠FDA+∠FAD=2∠FAD,∠EFC=∠FAC+∠FCA=2∠FAC,
∵CA=CB,∠ACB=90°,
∴∠BAC=45°,
∴∠DFC=∠EFD+∠EFC=2(∠FAD+∠FAC)=90°,
∴DF=FC,DF⊥FC.
(2)结论不变.
理由:如图2中,延长AC到M使得CM=CA,延长ED到N,使得DN=DE,连接BN、BM.EM、AN,延长ME交AN于H,交AB于O.
∵BC⊥AM,AC=CM,
∴BA=BM,同法BE=BN,
∵∠ABM=∠EBN=90°,
∴∠NBA=∠EBM,
∴△ABN≌△MBE,
∴AN=EM,∴∠BAN=∠BME,
∵AF=FE,AC=CM,
∴CF=EM,FC∥EM,同法FD=AN,FD∥AN,
∴FD=FC,
∵∠BME+∠BOM=90°,∠BOM=∠AOH,
∴∠BAN+∠AOH=90°,
∴∠AHO=90°,
∴AN⊥MH,FD⊥FC.
(3)如图3中,当点E落在AB上时,BF的长最大,最大值=3
如图4中,当点E落在AB的延长线上时,BF的值最小,最小值=.
综上所述,≤BF≤3.
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【题目】如图所示,已知一次函数(k≠0)的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点,且与反比例函数(m≠0)的图象在第一象限交于C点,CD垂直于x轴,垂足为D.若OA=OB=OD=1.
(1)求点A、B、D的坐标;
(2)求一次函数和反比例函数的解析式.
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【题目】如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=12,BC=24,动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动,如果点P、Q分别从点A、B同时出发,那么△PBQ的面积S随出发时间t(s)如何变化?写出函数关系式及t的取值范围.
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【题目】如图,在斜坡的顶部有一铁塔AB,B是CD的中点,CD是水平的,在阳光的照射下,塔影DE留在坡面上.已知铁塔底座宽CD=12 m,塔影长DE=18 m,小明和小华的身高都是1.6m,同一时刻,小明站在点E处,影子在坡面上,小华站在平地上,影子也在平地上,两人的影长分别为2m和1m,那么塔高AB为( )
A. 24m B. 22m C. 20m D. 18m
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【题目】随着航母编队的成立,我国海军日益强大,2018年4月12日,中央军委在南海海域降重举行海上阅兵,在阅兵之前我军加强了海上巡逻,如图,我军巡逻舰在某海域航行到A处时,该舰在观测点P的南偏东45°的方向上,且与观测点P的距离PA为400海里;巡逻舰继续沿正北方向航行一段时间后,到达位于观测点P的北偏东30°方向上的B处,问此时巡逻舰与观测点P的距离PB为多少海里?(参考数据:≈1.414,≈1.732,结果精确到1海里).
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【题目】二次函数y=x2+(a﹣2)x+3的图象与一次函数y=x(1≤x≤2)的图象有且仅有一个交点,则实数a的取值范围是( )
A. a=3±2 B. ﹣1≤a<2
C. a=3或﹣≤a<2 D. a=3﹣2或﹣1≤a<﹣
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【题目】为提升学生的艺术素养,学校计划开设四门艺术选修课:A.书法;B.绘画;C.乐器;D.舞蹈.为了解学生对四门功课的喜欢情况,在全校范围内随机抽取若干名学生进行问卷调查(每个被调查的学生必须选择而且只能选择其中一门).将数据进行整理,并绘制成如下两幅不完整的统计图,请结合图中所给信息解答下列问题:
(1)本次调查的学生共有多少人?扇形统计图中∠α的度数是多少?
(2)请把条形统计图补充完整;
(3)学校为举办2018年度校园文化艺术节,决定从A.书法;B.绘画;C.乐器;D.舞蹈四项艺术形式中选择其中两项组成一个新的节目形式,请用列表法或树状图求出选中书法与乐器组合在一起的概率.
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【题目】如图,甲楼楼高米,乙楼座落在甲楼的正北面,已知当地冬至中午时太阳光线与水平面的夹角为,此时求:
①如果两楼相距米,那么甲楼的影子落在乙楼上有多高?________
②如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上,那么两楼的距离应当是________米.
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