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【题目】已知如图 1,在ABC 中,ACB90°BCAC,点 D AB 上,DEAB BC E,点 F AE 的中点

1 写出线段 FD 与线段 FC 的关系并证明;

2 如图 2,将BDE 绕点 B 逆时针旋转αα90°),其它条件不变,线段 FD 与线段 FC 的关系是否变化,写出你的结论并证明;

3 BDE 绕点 B 逆时针旋转一周,如果 BC4BE2,直接写出线段 BF 的范围.

【答案】(1)结论:FDFCDFCF;(2)结论不变.(3)BF3

【解析】

(1)根据直角三角形的性质先找出相关角、边的关系,利用等量代换得到结果.(2)旋转前后,图形的性质是不变的,据此可以直接找到旋转前后边角的关系,从而证明结论(3)要使BF最长,只有点E落在AB上即可要使BF最短,只有点E落在AB的延长线即可.

(1)结论:FDFCDFCF

理由:如图1中,

∵∠ADEACE=90°,AFFE

DFAFEFCF

∴∠FADFDAFACFCA

∴∠DFEFDA+FAD=2FADEFCFAC+FCA=2FAC

CACBACB=90°,

∴∠BAC=45°,

∴∠DFCEFD+EFC=2(FAD+FAC)=90°,

DFFCDFFC

(2)结论不变.

理由:如图2中,延长ACM使得CMCA,延长EDN,使得DNDE,连接BNBMEMAN,延长MEANH,交ABO

BCAMACCM

BABM,同法BEBN

∵∠ABMEBN=90°,

∴∠NBAEBM

∴△ABN≌△MBE

ANEM∴∠BANBME

AFFEACCM

CFEMFCEM,同法FDANFDAN

FDFC

∵∠BME+BOM=90°,BOMAOH

∴∠BAN+AOH=90°,

∴∠AHO=90°,

ANMHFDFC

(3)如图3中,当点E落在AB上时,BF的长最大,最大值=3

如图4中,当点E落在AB的延长线上时,BF的值最小,最小值=

综上所述,BF3

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