Question

16．如图，BO、CO分别是△ABC的外角平分线．
（1）若∠A=50°，求∠BOC的度数；
（2）若∠A=α，直接写出∠BOC的度数（用α表示）

Answer 1

分析 （1）由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可证2∠1+2∠2=2∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+180°，再根据三角形内角和定理可证2∠BOC=180°-∠A，即∠BOC=90°-$\frac{1}{2}$∠A，由此可得出结论；
（2）根据（1）的证明过程可得出结论．

解答 解：（1）∵BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的角平分线，
∴∠DBC=2∠1=∠ACB+∠A，
∠ECB=2∠2=∠ABC+∠A，
∴2∠1+2∠2=2∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+180°，
又∵∠1+∠2+∠BOC=180°，
∴2∠BOC=180°-∠A，
∴∠BOC=90°-$\frac{1}{2}$∠A=90°-$\frac{1}{2}$×50°=90°-25°=65°；

（2）∵BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的角平分线，
∴∠DBC=2∠1=∠ACB+∠A，
∠ECB=2∠2=∠ABC+∠A，
∴2∠1+2∠2=2∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+180°，
又∵∠1+∠2+∠BOC=180°，
∴2∠BOC=180°-∠A，
∴∠BOC=90°-$\frac{1}{2}$∠A=90°-$\frac{1}{2}$α．

点评 本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是沟通外角和内角的关系．