Question

4．如图，已知AB为⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，线段OP与弦AC垂直并相交于点D，OP与弧AC相交于点E，连接BC．
（1）求证：PA•BC=AB•CD；
（2）若PA=10，sinP=$\frac{3}{5}$，求PE的长．

Answer 1

分析 （1）由PA为圆O的切线，利用切线的性质得到AP垂直于AB，可得出∠PAO为直角，得到∠PAD与∠DAO互余，再由AB为圆O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得出∠ACB为直角，得到∠DAO与∠B互余，根据同角的余角相等可得出∠PAC=∠B，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出三角形APD与三角形ABC相似，由相似得比例，再由OD垂直于AC，利用垂径定理得到AD=CD，等量代换可得证；
（2）在直角三角形APD中，由PA及sinP的值求出AD的长，再利用勾股定理求出PD的长，进而确定出AC的长，由第一问两三角形相似得到比例式，将各自的值代入求出AB的长，求出半径AO的长，在直角三角形APO中，由AP及AO的长，利用勾股定理求出OP的长，用OP-OE即可求出PE的长．

解答 （1）证明：∵PA是⊙O的切线，AB是直径，
∴∠PAO=90°，∠C=90°，
∴∠PAC+∠BAC=90°，∠B+∠BAC=90°，
∴∠PAC=∠B，
又∵OP⊥AC，
∴∠ADP=∠C=90°，
∴△PAD∽△ABC，
∴AP：AB=AD：BC，
∵在⊙O中，AD⊥OD，
∴AD=CD，
∴AP：AB=CD：BC，
∴PA•BC=AB•CD；

（2）解：∵sinP=$\frac{3}{5}$，且AP=10，
∴$\frac{AD}{AP}$=$\frac{3}{5}$，
∴AD=6，
∴AC=2AD=12，
∵在Rt△ADP中，PD=$\sqrt{A{P}^{2}-A{D}^{2}}$=8，
又∵△PAD∽△ABC，
∴AP：AB=PD：AC，
∴AB=$\frac{10×12}{8}$=15，
∴A0=OE=7.5，
在Rt△APO中，根据勾股定理得：OP=$\sqrt{A{P}^{2}+O{A}^{2}}$=12.5，
∴PE=OP-OE=12.5-7.5=5．

点评 此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．