Question

【题目】在平面直角坐标系中，我们定义点P(， )的“变换点”为Q. 且规定：当≥时，Q为(， )；当＜时，Q为(， )．

（1）点(2，1)的变换点坐标为 ；

（2）若点A(， )的变换点在函数的图象上，求的值；

（3）已知直线与坐标轴交于(6，0)，(0，3)两点．将直线上所有点的变换点组成一个新的图形记作M． 判断抛物线与图形M的交点个数，以及相应的的取值范围，请直接写出结论．

Answer 1

【答案】（1）（1，-2）；（2）（3）抛物线与图形M的交点个数有0个、1个、2个、3个、4个共五种情况：① 当时，抛物线与图形M没有交点；② 当时，抛物线与图形M有一个交点；③ 当或时，抛物线与图形M有两个交点；④ 当或时，抛物线与图形M有三个交点；⑤ 当时，抛物线与图形M有四个交点.

【解析】（1）根据新定义变换点坐标；（2）利用变换点在函数的图象上的特征求值；（3）根据抛物线与图形的交点个数情况求出相应的C的取值范围.

（1）（1，-2）；

（2）①当≥-2时，点A的变换点为(-2， )，

把(-2， )代入，解得=；

②当＜-2时，A的变换点为(，2)，

把(，2)代入，解得=，舍去.

∴=.

（3）抛物线与图形M的交点个数有0个、1个、2个、3个、4个共五种情况：

① 当时，抛物线与图形M没有交点；

② 当时，抛物线与图形M有一个交点；

③ 当或时，抛物线与图形M有两个交点；

④ 当或时，抛物线与图形M有三个交点；

⑤ 当时，抛物线与图形M有四个交点.

“点睛”此题是二次函数综合题，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和等腰三角形的判定；会运用待定系数法求函数解析式；理解新定义能运用新定义进行求解；会运用方程的思想和分类讨论的思想解决问题．