Question

已知：如图，在△ABC中，AB=3，AC=2，能否在AC上（不同于A，C）找到点D，过点D作DE∥AB交于BC于E，过点E作EF∥AC交AB于F，连接FD，将△ABC分割成四个相似的小三角形，但其中至少有两个小三角形的相似比不等于1？若能，求出点D位置；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：在AC上取点D，过点D作∠ADF=∠B，画出草图，找到相应的对应点，根据对应边成比例求得AD的长即可．

解答：解：∵∠ADF=∠B，∠A=∠A．
∴△ADF∽△ABC，
∴AD：AF=AB：AC，
设AD=3x，
∴CD=2-3x，
∴AF=2x，
∴FB=3-2x，
∵∠A=∠CDE=∠DEF=∠EFB，
∠ADF=∠DEC=∠DFE=∠B，
∴△ADF∽△DEC∽△EFD∽△FBE，
由AD：AF=BF：EF，
3x：2x=（3-2x）：3x，
x=

6

13

，
∴AD=3x=

18

13

．

点评：考查相似三角形的画法及性质的应用；判定出4个相似三角形的对应点是解决本题的突破点．