Question

【题目】在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴正半轴交于点．

求证：该二次函数的图象与轴必有两个交点；

设该二次函数的图象与轴的两个交点中右侧的交点为点，若，将直线向下平移个单位得到直线，求直线的解析式；

在的条件下，设为二次函数图象上的一个动点，当时，点关于轴的对称点都在直线的下方，求的取值范围．

Answer 1

【答案】证明见解析；；．

【解析】

（1）直接利用根的判别式，结合完全平方公式求出△的符号进而得出答案；
（2）首先求出B，A点坐标，进而求出直线AB的解析式，再利用平移规律得出答案；
（3）根据当-3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，当p=0时，q=1；当p=-3时，q=12m+4；结合图象可知：-（12m+4）≤2，即可得出m的取值范围．

令，则

，

∵二次函数图象与轴正半轴交于点，

∴，且，

又∵，

∴，

∴，

∴该二次函数的图象与轴必有两个交点；

令，

解得：，，

由得，故的坐标为，

又因为，

所以，即，

则可求得直线的解析式为：．

再向下平移个单位可得到直线；

由得二次函数的解析式为：．

∵为二次函数图象上的一个动点，

∴．

∴点关于轴的对称点的坐标为．

∴点在二次函数上．

∵当时，点关于轴的对称点都在直线的下方，

当时，；当时，；

结合图象可知：，

解得：．

∴的取值范围为：．