Question

6．如图，在正方形ABCD中，F为BC的延长线上一点，AF交BD于点E，交CD于点G，求证：CE是△CGF外接圆的切线．

Answer 1

分析 通过全等三角形的判定定理SAS判定△DAE≌△DCE，然后根据全等三角形的对应角相等知∠DAE=∠DCE，由AD∥BF，求得∠DAE=∠F，∠GCF=∠ADC=90°，得出∠DCE=∠F，GF是△CGF外接圆的直径，从而求得GH=CH，根据等边对等角得出∠CGF=∠GCH，进而就可求得CH⊥CE，即可求得结论．

解答 证明：在△DAE和△DCE中，
∠ADE=∠CDE（正方形的对角线平分对角），
在△DAE和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{ED=ED}\\{∠ADE=∠CDE}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△DAE≌△DCE （SAS），
∴∠DAE=∠DCE（全等三角形的对应角相等），
∵AD∥BF，
∴∠DAE=∠F，∠GCF=∠ADC=90°
∴∠DCE=∠F，GF是△CGF外接圆的直径，
∴圆心H是GF的中点，
∴GH=CH，
∴∠CGF=∠GCH，
∵∠F+∠CGF=90°，
∴∠GCE+∠GCH=90°，
∴CH⊥CE，
∴CE是△CGF外接圆的切线．

点评 本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，圆周角定理以及切线的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键．