Question

18．如图，AP是⊙O的切线，A为切点，AB是⊙O的弦，过点B作BC∥AP，交⊙O于点C，连接AC，过点C作CP∥AP于点P，连接AO并延长，交BC于点M，交过点C的直线于点D，且∠ACP=∠BCD
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若BC=6，AB=9，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）过C点作直径CE，连接EB，由CE为直径得∠E+∠BCE=90°，由AB∥PC得∠ACP=∠BAC，而∠BAC=∠E，∠BCD=∠ACP，所以∠E=∠BCD，于是∠BCD+∠BCE=90°，然后根据切线的判断得到结论；
（2）根据切线的性质得到OA⊥AP，而BC∥AP，则AM⊥BC，根据垂径定理有BM=CM=$\frac{1}{2}$BC=3，根据等腰三角形性质有AC=AB=9，在Rt△AMC中根据勾股定理计算出AM=6$\sqrt{2}$；设⊙O的半径为r，则OC=r，OM=AM-r=6$\sqrt{2}$-r，在Rt△OCM中，根据勾股定理计算出r=$\frac{27\sqrt{2}}{8}$，则CE=2r=$\frac{27\sqrt{2}}{4}$，OM=6$\sqrt{2}$-$\frac{27\sqrt{2}}{8}$=$\frac{21\sqrt{2}}{8}$，利用中位线性质得BE=2OM=$\frac{21\sqrt{2}}{4}$，然后判断Rt△DCM∽Rt△CEB，根据相似比可计算出CD．

解答 解：（1）DC与圆O相切，理由为：
过C点作直径CE，连接EB，如图，
∵CE为直径，
∴∠EBC=90°，即∠E+∠BCE=90°，
∵AB∥PC，
∴∠ACP=∠BAC，
∵∠BAC=∠E，∠BCD=∠ACP．
∴∠E=∠BCD，
∴∠BCD+∠BCE=90°，即∠DCE=90°，
∴CE⊥DC，
∴DC与圆O相切；
（2）∵AP是⊙O的切线，切点为A，
∴OA⊥AP，
∵BC∥AP，
∴AM⊥BC，
∴BM=CM=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴AC=AB=9，
在Rt△AMC中，AM=$\sqrt{A{C}^{2}-C{M}^{2}}$=6$\sqrt{2}$，
设⊙O的半径为r，则OC=r，OM=AM-r=6$\sqrt{2}$-r，
在Rt△OCM中，OM²+CM²=OC²，即3²+（6$\sqrt{2}$-r）²=r²，解得r=$\frac{27\sqrt{2}}{8}$，
∴CE=2r=$\frac{27\sqrt{2}}{4}$，OM=6$\sqrt{2}$-$\frac{27\sqrt{2}}{8}$=$\frac{21\sqrt{2}}{8}$，
∴BE=2OM=$\frac{21\sqrt{2}}{4}$，
∵∠E=∠MCD，
∴Rt△DCM∽Rt△CEB，
∴$\frac{DC}{CE}=\frac{CM}{EB}$，
∴CD=$\frac{27}{7}$．

点评 本题考查了切线的判定与性质：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线；圆的切线垂直于过切点的半径．也考查了勾股定理、圆周角定理的推论、三角形相似的判定与性质．