Question

【题目】综合与探究

如图，抛物线的图象经过坐标原点O，且与轴的另一交点为(，0).

(1)求抛物线的解析式；

(2)若直线与抛物线相交于点A和点B(点A在第二象限)，设点A′是点A关于原点O的对称点，连接A′B，试判断ΔAA′B的形状，并说明理由；

(3)在问题(2)的基础上，探究：平面内是否存在点P，使得以点A，B，A′，P为顶点的四边形是菱形？若存在直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)ΔAA′B是等边三角形；(3)存在，,,

【解析】

（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线F的解析式；

（2）先求出点A、B的坐标，利用对称性求出点A′的坐标，利用两点间的距离公式（勾股定理）可求出AB、AA′、A′B的值，由三者相等即可得出△AA′B为等边三角形；

（3）根据等边三角形的性质结合菱形的性质，可得出存在符合题意得点P，设点P的坐标为（x，y），分三种情况考虑：①当A′B为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P的坐标；②当AB为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P的坐标；③当AA′为对角线时，根据菱形的性质（对角线互相平分）可求出点P的坐标．综上即可得出结论．

解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c的图象经过点（0，0）和(，0)，

∴，解得：；

∴.

（2）ΔAA′B是等边三角形；

∵，

解得：，

∴A()，B()，

过点A分别作AC⊥轴，AD⊥A′B，垂足分别为C，D，

∴AC=，OC=，

在RtΔAOC中

OA=，

∵点A′与点A关于原点对称，

∴A′()，AA′=，

∵B()，

∴A′B=2-(-)=，

又∵A()，B()，

∴AD=，BD=，

在RtΔABD中

AB=，

∴AA′=A′B=AB，

∴ΔAA′B是等边三角形；

（3）存在符合题意的点P，且以点A、B、A′、P为顶点的菱形分三种情况；

设点P的坐标为：（x，y）．

①当A′B为对角线时，有，

解得：，

∴点P为：；

②当AB为对角线时，有，

解得：，

∴点P为：；

③当AA′为对角线时，有，

解得：，

∴点P为：；

综合上述，,,.