【题目】如图,矩形ABCD中,AE⊥BD于点E,CF平分∠BCD,交EA的延长线于点F,且BC=4,CD=2,给出下列结论:①∠BAE=∠CAD;②∠DBC=30°;③AE=;④AF=,其中正确结论的个数有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个32
【答案】C
【解析】
解:在矩形ABCD中,∵∠BAD=90°,∵AE⊥BD,∴∠AED=90°,∴∠ADE+∠DAE=∠DAE+∠BAE=90°,∴∠BAE=∠ADB,∵∠CAD=∠ADB,∴∠BAE=∠CAD,故①正确;
∵BC=4,CD=2,∴tan∠DBC==,∴∠DBC≠30°,故②错误;
∵BD==,∵AB=CD=2,AD=BC=4,∵△ABE∽△DBA,∴,即,∴AE=;故③正确;
∵CF平分∠BCD,∴∠BCF=45°,∴∠ACF=45°﹣∠ACB,∵AD∥BC,∴∠DAC=∠BAE=∠ACB,∴∠EAC=90°﹣2∠ACB,∴∠EAC=2∠ACF,∵∠EAC=∠ACF+∠F,∴∠ACF=∠F,∴AF=AC,∵AC=BD=,∴AF=,故④正确;
故选C.
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【题目】商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料,每种饮料数量充足,某同学去该店购买饮料,每种饮料被选中的可能性相同.
(1)若他去买一瓶饮料,则他买到奶汁的概率是 ;
(2)若他两次去买饮料,每次买一瓶,且两次所买饮料品种不同,请用树状图或列表法求出他恰好买到雪碧和奶汁的概率.
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【题目】某校九年级学习小组在探究学习过程中,用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图
(1)所示位置放置放置,现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α(0°<α<90°),如图(2),AE与BC交于点M,AC与EF交于点N,BC与EF交于点P.
(1)求证:AM=AN;
(2)当旋转角α=30°时,四边形ABPF是什么样的特殊四边形?并说明理由.
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【题目】定义:如图1,抛物线()与轴交于,两点,点在该抛物线上(点与,两点不重合),如果的三边满足,则称点为抛物线()的勾股点.
(1)求证:点是抛物线的勾股点.
(2)如图2,已知抛物线()与轴交于,两点,点是抛物线的勾股点,求抛物线的函数表达式.
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【题目】如图,已知抛物线y=x2+bx+c与直线y=x交于(1,1)和(3,3)两点,现有以下结论:①b2﹣4c>0;②3b+c+6=0;③当x2+bx+c>时,x>2;④当1<x<3时,x2+(b﹣1)x+c<0,其中正确的序号是( )
A. ①②④B. ②③④C. ②④D. ③④
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【题目】如图,在锐角三角形ABC中,点D,E分别在边AC,AB上,AG⊥BC于点G,AF⊥DE于点F,∠EAF=∠GAC.
(1)求证ΔADE∽ΔABC;
(2)若AD=3,AB=5,求的值.
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【题目】阅读下面内容:我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》,聪明的你可以发现:
当a>0,b>0时:
∵()2=a﹣2+b≥0
∴a+b≥2,当且仅当a=b时取等号.
请利用上述结论解决以下问题:
(1)请直接写出答案:当x>0时,x+的最小值为 .当x<0时,x+的最大值为 ;
(2)若y=,(x>﹣1),求y的最小值;
(3)如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,△AOB、△COD的面积分别为4和9,求四边形ABCD面积的最小值.
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【题目】综合与探究
如图,抛物线的图象经过坐标原点O,且与轴的另一交点为(,0).
(1)求抛物线的解析式;
(2)若直线与抛物线相交于点A和点B(点A在第二象限),设点A′是点A关于原点O的对称点,连接A′B,试判断ΔAA′B的形状,并说明理由;
(3)在问题(2)的基础上,探究:平面内是否存在点P,使得以点A,B,A′,P为顶点的四边形是菱形?若存在直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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