【题目】定义:如图1,抛物线()与轴交于,两点,点在该抛物线上(点与,两点不重合),如果的三边满足,则称点为抛物线()的勾股点.
(1)求证:点是抛物线的勾股点.
(2)如图2,已知抛物线()与轴交于,两点,点是抛物线的勾股点,求抛物线的函数表达式.
【答案】(1)见解析;(2)y=
【解析】
(1)先解方程x2-1=0得抛物线与x轴的交点A、B的坐标为(-1,0),B(1,0),利用两点间的距离公式可得到AM2=2,BM2=2,AB2=22=4,则AM2+BM2=AB2,根据题中定义可判断点M(0,-1)是抛物线y=x2-1的勾股点;
(2)作PH⊥AB于H,如图2,先利用P点坐标求出∠PAH=60°,再根据点P(1, )是抛物线C的勾股点得到∠APB=90°,所以∠PBA=30°,然后计算出BH得到B点坐标,于是可利用待定系数法求抛物线C的解析式.
(1)如图所示:令得,,解得
∴,
∴,,,
∴
∴
∴点是抛物线的勾股点.
(2)抛物线过原点,即点
如图,作轴于点
∵点的坐标为
∴,,
∵点是抛物线的勾股点
∴
∴是直角三角形
设
∵
∴
∴
∴
∴
∴点坐标为
设
将点代入得:
∴
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【题目】如图,在△ABC中,AB>AC,点D、E分别是边AB、AC的中点,点F在BC边上,连接DE、DF、EF,则添加下列哪一个条件后,仍无法判断△FCE与△EDF全等( )
A. ∠A=∠DFE B. BF=CF C. DF∥AC D. ∠C=∠EDF
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【题目】如图,已知平面直角坐标系中,直线y=x+2与x轴交于点A,与y轴交于点B,与直线y=x交于点C.
(1)求A,B,C三点的坐标;
(2)求△AOC的面积;
(3)已知点P是x轴正半轴上的一点,若△COP是等腰三角形,直接写点P的坐标.
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【题目】如图,直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)相交于A()和B(4,6),点P是线段AB上异于A、B的动点,过点P作PC⊥x轴于点D,交抛物线于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当C为抛物线顶点的时候,求的面积.
(3)是否存在质疑的点P,使的面积有最大值,若存在,求出这个最大值,若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,点,的坐标分别为和,抛物线的顶点在线段上运动(抛物线随顶点一起平移),与轴交于、两点(在的左侧),点的横坐标最小值为-6,则点的横坐标最大值为( )
A.-3B.1C.5D.8
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【题目】如图,矩形ABCD中,AE⊥BD于点E,CF平分∠BCD,交EA的延长线于点F,且BC=4,CD=2,给出下列结论:①∠BAE=∠CAD;②∠DBC=30°;③AE=;④AF=,其中正确结论的个数有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个32
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【题目】将图中的A型、B型、C型矩形纸片分别放在3个盒子中,盒子的形状、大小、质地都相同,再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中.
(1)搅匀后从中摸出1个盒子,求摸出的盒子中是型矩形纸片的概率;
(2)搅匀后先从中摸出1个盒子(不放回),再从余下的两个盒子中摸出一个盒子,求2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的概率(不重叠无缝隙拼接).
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