【题目】如图,抛物线的对称轴为直线,且过点,有下列结论:
①;②;③;④;⑤,其中正确的结论有( )
A.①③⑤B.①②⑤C.①④⑤D.③④⑤
【答案】A
【解析】
根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点判定系数符号,及运用一些特殊点解答问题.
由抛物线的开口向下可得:a<0,
根据抛物线的对称轴在y轴左边可得:a,b同号,所以b<0,
根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得:c>0,
∴abc>0,故①正确;
直线x=1是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴,所以=1,可得b=2a,
a2b+4c=a4a+c=3a+c,
∵a<0,
∴3a>0,
又∵c>0
∴3a+c>0,
即a2b+4c>0,故②错误;
∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=1.且过点(,0),
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为,
当x=时,y=0,即,
整理得:25a10b+4c=0,故③正确;
∵b=2a,a+b+c<0,
∴b+b+c<0,
即3b+2c<0,故④错误;
∵x=1时,函数值最大,
∴ab+c≥m2amb+c,
∴ab≥m(amb),所以⑤正确;
正确答案为:①③⑤三个.
故选C.
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【题目】如图,四边形ABCD是正方形,E,F分别是DC和CB的延长线上的点,且BF=DE,连接AE,AF,EF.
(1)判断△ABF与△ADE有怎样的关系,并说明理由;
(2)求∠EAF的度数,写出△ABF可以由△ADE经过怎样的图形变换得到;
(3)若BC=6,DE=2,求△AEF的面积.
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【题目】已知:在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A(-5,8),B(3,0).
(1)如图1,求∠ABO的度数;
(2)如图2,点C在y轴的负半轴上,△BOC的面积为,过点C作CD∥AB交x轴于点D,点P为直线CD上一点,求△PAB的面积;
(3)如图3,在(2)的条件下,当P在第二象限时,过点P作AB的垂线交x轴于点E,点F为x轴上一点,连接PF,点G为EP延长线上一点,连接OG,若OG=FP,∠EFP+∠PGO=45°,EF=11,求点P的坐标.
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【题目】如图,二次函数y=﹣x2+x+2交x轴于点A.B(A在B的右侧),与y轴交于点C,D为第一象限抛物线上的动点,则△ACD面积的最大值是_____
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【题目】某校九年级学习小组在探究学习过程中,用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图
(1)所示位置放置放置,现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α(0°<α<90°),如图(2),AE与BC交于点M,AC与EF交于点N,BC与EF交于点P.
(1)求证:AM=AN;
(2)当旋转角α=30°时,四边形ABPF是什么样的特殊四边形?并说明理由.
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【题目】(1)如图1,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D,E在BC上,∠DAE=45°,为了探究BD,DE,CE之间的等量关系,现将△AEC绕A顺时针旋转90°后成△AFB,连接DF,经探究,你所得到的BD,DE,CE之间的等量关系式是 ;(无须证明)
(2)如图2,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=AC,D,E在BC上,∠DAE=60°,∠ADE=45°,试仿照(1)的方法,利用图形的旋转变换,探究BD,DE,CE之间的等量关系,并证明你的结论.
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【题目】定义:如图1,抛物线()与轴交于,两点,点在该抛物线上(点与,两点不重合),如果的三边满足,则称点为抛物线()的勾股点.
(1)求证:点是抛物线的勾股点.
(2)如图2,已知抛物线()与轴交于,两点,点是抛物线的勾股点,求抛物线的函数表达式.
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【题目】如图,已知抛物线y=x2+bx+c与直线y=x交于(1,1)和(3,3)两点,现有以下结论:①b2﹣4c>0;②3b+c+6=0;③当x2+bx+c>时,x>2;④当1<x<3时,x2+(b﹣1)x+c<0,其中正确的序号是( )
A. ①②④B. ②③④C. ②④D. ③④
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【题目】在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°,将△ABC绕点B顺时针旋转角α(0°<α<90°)得△A1BC1,A1B交AC于点E,A1C1分别交AC、BC于D、F两点.
(1)如图1,观察并猜想,在旋转过程中,线段BE与BF有怎样的数量关系?并证明你的结论;
(2)如图2,当α=30°时,试判断四边形BC1DA的形状,并说明理由.
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