Question

【题目】已知：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(-5，8)，B(3，0).

（1）如图1，求∠ABO的度数；

（2）如图2，点C在y轴的负半轴上，△BOC的面积为，过点C作CD∥AB交x轴于点D，点P为直线CD上一点，求△PAB的面积；

（3）如图3，在（2）的条件下，当P在第二象限时，过点P作AB的垂线交x轴于点E，点F为x轴上一点，连接PF，点G为EP延长线上一点，连接OG，若OG=FP，∠EFP+∠PGO=45°，EF=11，求点P的坐标.

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）24；（3）P（-5，2）或（-7，4）

【解析】

（1）过点A作AD⊥x轴交于点D，求出AD、BD的长度即能得到答案；

（2）根据平行线间的距离处处相等，即能知道△PAB以AB为底时，高就是BC的长度，求出线段的长度，代入面积公式就能求出；

（3）分为点F在点E左侧和右侧进行讨论，根据题（2）求出PC的解析式，以及由∠EFP+∠PGO=45°推出△PFE≌△GOH，就能知道EF、OH与EO之间的关系，由EF=11，求出ED的长度后就能求出点P的横坐标，代入PC的解析式，就能求出点P的坐标．

解：（1）如图1，过点A作AD⊥x轴交于点D，

∵A(-5，8)，B(3，0)，

∴AD=8，BD=8，

∴△ADB是等腰直角三角形，

∴∠ABO=45°．

（2）由（1）可知，根据勾股定理可得：AB=，

∵△BOC的面积为，OB=3，

∴ ，

，

∵点C在y轴的负半轴上，

∴C点坐标为（0，-3），

∴△BOC是等腰直角三角形，

∴∠OBC=45°，BC=，

∴∠ABC=∠OBC+∠ABO= 90°，

∴BC⊥AB．

∵CD∥AB，

∴点P到直线AB的距离就是BC的长度，

∴

∴△PAB的面积为24．

（3）∵点G为EP延长线上一点，∠EFP+∠PGO=45°，当点G在第二象限时，∠PGO＞45°，∴点G在第一象限．

当点F在点E的左边时，如图3—1所示：

由（2）可知直线PC的解析式为y=﹣x﹣3，且∠PDE= 45°，OD=3，

∵PE⊥PC，

∴∠PED= 45°，∠EHO= 45°，

∴ PE=PD，∠PEF= 135°，∠GHO= 135°．

∵∠EFP+∠PGO=45°，∠GOH+∠PGO=45°，

∴∠EFP=∠GOH．

在△PFE和△GOH中，

，

∴△PFE≌△GOH（AAS），

∴EF=HO=11．

∴EO=HO=11，

∴DE=8，

∴点P的横坐标距离原点的距离为7，即点P的横坐标为﹣7，

将﹣7代入直线PC的解析式为y=﹣x﹣3，

则点P的纵坐标为4，

∴点P的坐标为（-7，4）．

当点F在点E的左边时，如图3-2所示：

同理可证得FD=HO=EO，

∵ EF=11，

∴ EO+OF=11，

∴ EO+FD－OD=11，

∴ 2ED=11+3，

∴ ED=7，

即点P的横坐标为﹣5，

将﹣5代入直线PC的解析式为y=﹣x﹣3，

则点P的纵坐标为2，

∴点P的坐标为（-5，2）．

所以点P坐标为（-5，2）或（-7，4）．