【题目】如图,O的直径AB的长为10,弦AC的长为5,∠ACB的平分线交O于点D.
(1)求∠ADC的度数;
(2)求弦BD的长.
【答案】(1)∠ADC=30°;(2)
【解析】
(1)根据直径所对的圆周角为直角可得在∠ACB=∠ADB=90°.Rt△ABC中,cos∠BAC= ,即可求得∠BAC=60°,根据直角三角形的两锐角互余可得∠ABC=30°,最后由同弧所对的圆周角相等即可得∠ADC=∠ABC=30°;(2)已知CD平分∠ACB,根据角平分线的定义可得∠ACD=∠BCD,由同弧所对的圆周角相等即可得∠DAB=∠DBA,所以AD=BD,在Rt△ABD中,根据求BD的长即可.
(1)∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=∠ADB=90°.
在Rt△ABC中,
∵cos∠BAC=,
∴∠BAC=60°,
∴∠ABC=30°,
∴∠ADC=∠ABC=30°;
(2)∵CD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠BCD,
∴∠DAB=∠DBA,
∴AD=BD,
∴∠BAD=∠ABD=45°.
在Rt△ABD中,BD=.
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【题目】(问题背景)
如图1,在四边形ADBC中,∠ACB=∠ADB=90°,AD=BD,探究线段AC,BC,CD之间的数量关系.
小吴同学探究此问题的思路是:将△BCD绕点D,逆时针旋转90°到△AED处,点B,C分别落在点A,E处(如图2),易证点C,A,E在同一条直线上,并且△CDE是等腰直角三角形,所以CE= CD,从而得出结论:AC+BC=CD
(简单应用)
(1)在图1中,若AC=3, CD=,则AB= .
(2)如图3,AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,∠C=45°,若AB=13,BC=12,求CD的长.
(拓展规律)
(3)如图4,∠ACB=∠ADB=90°,AD=BD,若AC=m,CD=n,则BC的长为 .(用含m,n的代数式表示)
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【题目】如图,直线L:与x轴、y轴分别交于A、B两点,在y轴上有一点C(0,4),线段OA上的动点M(与O,A不重合)从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动。
(1)求A、B两点的坐标;
(2)求△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式,并写出t的取值范围;
(3)当t何值时△COM≌△AOB,并求此时M点的坐标。
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【题目】如图,在第一象限内作射线OC,与x轴的夹角为30°,在射线OC上取点A,过点A作AH⊥x轴于点H.在抛物线y=x2(x>0)上取点P,在y轴上取点Q,使得以P、O、Q为顶点,且以点Q为直角顶点的三角形与△AOH全等,则符合条件的点A的坐标是__________.
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【题目】如图,矩形纸片ABCD中,已知AD =8,折叠纸片使AB边与对角线AC
重合,点B落在点F处,折痕为AE,且EF=3,则AB的长为( )
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
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【题目】如图,正方形网格中(每个小正方形的边长都为1个单位),在平面直角坐标系内,△ABC的三个顶点分别为(2,-4),B(4,-4),C(1,-1).
(1)请在图中标出△ABC的外接圆的圆心P的位置,并填写: 圆心P的坐标:P( , )
(2)画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的 ;
(3)在(2)的条件下,求线段BC扫过的面积(结果保留π).
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【题目】如图,AD∥BC,∠BAD=90°,以点B为圆心,BC长为半径画弧,与射线AD相交于点E,连结BE,过C点作CF⊥BE,垂足为F.
(1)线段BF与图中现有的哪一条线段相等?先将你猜想出的结论填写在下面的横线上,然后再加以证明.
结论:BF= ;
(2)若AB=6,AE=8,求点A到点C的距离.
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【题目】如图所示,小明家小区空地上有两棵笔直的树、.一天,他在处测得树顶的仰角,在处测得树顶的仰角,线段恰好经过树顶.已知、两处的距离为米,两棵树之间的距离米,、、、四点.在一条直线上,求树的高度.(结果精确到米,参考数据:,,.)
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【题目】如图,已知抛物线与轴交于点和点,与轴交于点,连接交抛物线的对称轴于点,是抛物线的顶点.
求此抛物线的解析式;
直接写出点和点的坐标;
若点在第一象限内的抛物线上,且,求点坐标.
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