【题目】(问题背景)
如图1,在四边形ADBC中,∠ACB=∠ADB=90°,AD=BD,探究线段AC,BC,CD之间的数量关系.
小吴同学探究此问题的思路是:将△BCD绕点D,逆时针旋转90°到△AED处,点B,C分别落在点A,E处(如图2),易证点C,A,E在同一条直线上,并且△CDE是等腰直角三角形,所以CE= CD,从而得出结论:AC+BC=CD
(简单应用)
(1)在图1中,若AC=3, CD=,则AB= .
(2)如图3,AB是⊙O的直径,点C、D在⊙O上,∠C=45°,若AB=13,BC=12,求CD的长.
(拓展规律)
(3)如图4,∠ACB=∠ADB=90°,AD=BD,若AC=m,CD=n,则BC的长为 .(用含m,n的代数式表示)
【答案】(1) 5; (2);(3) .
【解析】
(1)代入结论:AC+BC=CD,直接计算即可;
(2)如图3,作辅助线,根据直径所对的圆周角是直角得:∠ADB=∠ACB=90°,由弧相等可知所对的弦相等,得到满足图1的条件,所以AC+BC=CD,代入可得CD的长;
(3)如图4,根据小吴同学的思路作辅助线,构建全等三角形:将△BCD绕点D,逆时针旋转90°到△AED处,点B,C分别落在点A,E处,得△BCD≌△AED,证明△CDE是等腰直角三角形,所以CE=CD,从而得出结论.
(1)由题意知:AC+BC=CD,∴3+BC=×,∴BC=4,∴AB==5.
故答案为:5;
(2)如图3,连接AC、BD、AD.
∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=∠ACB=90°.
∵=,∴AD=BD.
∵AB=13,BC=12,∴由勾股定理得:AC=5,由图1得:AC+BC=CD,5+12=CD,∴CD=;
(3)如图4.
∵∠ACB=∠ADB=90°,∴A、B、C、D在以AB为直径的圆上,∴∠DAC=∠DBC,将△BCD绕点D,逆时针旋转90°到△AED处,点B,C分别落在点A,E处,∴△BCD≌△AED,∴CD=ED,∠ADC=∠ADE,∴∠ADC﹣∠ADC=∠ADE﹣∠ADC,即∠ADB=∠CDE=90°,∴△CDE是等腰直角三角形,所以CE=CD.
∵AC=m,∴CE=,BC= AE=.
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【题目】如图,△ABC是等边三角形,点D、E分别是射线AB、射线CB上的动点,点D从点A出发沿射线AB移动,点E从点B出发沿BG移动,点D、点E同时出发并且运动速度相同.连接CD、DE.
(1)如图①,当点D移动到线段AB的中点时,求证:DE=DC.
(2)如图②,当点D在线段AB上移动但不是中点时,试探索DE与DC之间的数量关系,并说明理由.
(3)如图③,当点D移动到线段AB的延长线上,并且ED⊥DC时,求∠DEC度数.
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【题目】经销商经销某种农产品,在一个销售月内,每售出1吨该产品获利500元,未售出的产品,每1吨亏损300元.根据历史资料记载的20个月的销售情况,得到如图所示的销售月内市场需求量的频数分布直方图.经销商为下一个销售月购进了130吨该农产品,以x(单位:吨,100≤x≤150)表示下一个销售月内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售月内经销该农产品的利润.
完成下列问题:
(1)根据直方图可以看出,销售月内市场需求量的中位数在第_________组.
(2)当100≤x≤150时,用含x的代数式或常数表示T;
(3)根据直方图估计利润T不少于57000元的概率.
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【题目】如图,△ABC是⊙O的内接三角形,∠BAD是△ABC的一个外角,∠BAC、∠BAD的平分线分别交⊙O于点E、F.请你在图上连接EF.(1)证明:EF是⊙O的直径;(2)请你判断EF与BC有怎样的位置关系?并请证明你的结论.
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【题目】如图,一条抛物线与轴的交点为、两点,其顶点在折线上运动.若、、的坐标分别为、、、,点横坐标的最小值为,则点横坐标的最大值为________.
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【题目】如果二次函数y=x2+(k+2)x+k+5的图象与x轴的两个不同交点的横坐标都是正的,那么k值应为( )
A. k>4或k<﹣5 B. ﹣5<k<﹣4 C. k≥﹣4或k≤﹣5 D. ﹣5≤k≤﹣4
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