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    【题目】如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAD是△ABC的一个外角，∠BAC、∠BAD的平分线分别交⊙O于点E、F．请你在图上连接EF．（1）证明：EF是⊙O的直径；（2）请你判断EF与BC有怎样的位置关系？并请证明你的结论．

    【答案】 (1)详见解析；（2）EF垂直平分BC，证明详见解析.

    【解析】

    （1）先利用角平分线定义和平角定义计算出∠EAF=90°，则利用圆周角定理的推论得到EF为⊙O的直径；

    （2）由AE平分∠BAC得∠BAE=∠CAE，根据圆周角定理得=，于是根据垂径定理的推论可得EF垂直平分BC．

    （1）连接EF．

    ∵AF平分∠BAD，AE平分∠BAC，∴∠BAF=∠BAD，∠BAE=∠BAC，∴∠BAF+∠BAE=（∠BAD+∠BAC）=×180°=90°，即∠EAF=90°，∴EF为⊙O的直径．

    （2）EF垂直平分BC．理由如下：

    ∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE，∴=．

    ∵EF为⊙O的直径，∴EF垂直平分BC．

    练习册系列答案
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】如图1，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，若AB=AC+CD.那么∠ACB 与∠ABC有怎样的数量关系? 小明通过观察分析，形成了如下解题思路:

    如图2,延长AC到E,使CE=CD,连接DE,由AB=AC+CD,可得AE=AB,又因为AD是∠BAC的平分线，可得△ABD≌△AED,进一步分析就可以得到∠ACB 与∠ABC的数量关系.

    (1) 判定△ABD 与△AED 全等的依据是______________(SSS,SAS,ASA,AAS 从其中选择一个);

    (2)∠ACB 与∠ABC的数量关系为:___________________

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】如图：对称轴的抛物线与轴相交于，两点，其中点的坐标为，且点在抛物线上．

    求抛物线的解析式．

    点为抛物线与轴的交点．

    ①点在抛物线上，且，求点点坐标．

    ②设点是线段上的动点，作轴交抛物线于点，求线段长度的最大值．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，则α取值范围是（ ）

    A. 36°45° B. 45°54° C. 54°72° D. 72°90°

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：

    .

    （1）上述分解因式的方法是______________法.

    （2）分解的结果应为___________.

    （3）分解因式：.

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】如图1，在中，于E，，D是AE上的一点，且，连接BD，CD．

    试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由；

    如图2，若将绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；

    如图3，若将中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变．

    试猜想BD与AC的数量关系，请直接写出结论；

    你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】（问题背景）

    如图1，在四边形ADBC中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，探究线段AC，BC，CD之间的数量关系．

    小吴同学探究此问题的思路是：将△BCD绕点D，逆时针旋转90°到△AED处，点B，C分别落在点A，E处（如图2），易证点C，A，E在同一条直线上，并且△CDE是等腰直角三角形，所以CE= CD，从而得出结论：AC+BC=CD

    （简单应用）

    （1）在图1中，若AC=3， CD=，则AB= ．

    （2）如图3，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠C=45°，若AB=13，BC=12，求CD的长．

    （拓展规律）

    （3）如图4，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，若AC=m，CD=n，则BC的长为 ．（用含m，n的代数式表示）

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴正半轴交于点．

    求证：该二次函数的图象与轴必有两个交点；

    设该二次函数的图象与轴的两个交点中右侧的交点为点，若，将直线向下平移个单位得到直线，求直线的解析式；

    在的条件下，设为二次函数图象上的一个动点，当时，点关于轴的对称点都在直线的下方，求的取值范围．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，在第一象限内作射线OC，与x轴的夹角为30°，在射线OC上取点A，过点A作AH⊥x轴于点H．在抛物线y=x2(x>0)上取点P，在y轴上取点Q，使得以P、O、Q为顶点，且以点Q为直角顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A的坐标是__________．

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