【题目】如图,在第一象限内作射线OC,与x轴的夹角为30°,在射线OC上取点A,过点A作AH⊥x轴于点H.在抛物线y=x2(x>0)上取点P,在y轴上取点Q,使得以P、O、Q为顶点,且以点Q为直角顶点的三角形与△AOH全等,则符合条件的点A的坐标是__________.
【答案】(,),(3,),(,2),(,)
【解析】
此题应分四种情况考虑:
①∠POQ=∠OAH=60°,此时A、P重合,可联立直线OA和抛物线的解析式,即可得A点坐标;
②∠POQ=∠AOH=30°,此时∠POH=60°,即直线OP:y=x,联立抛物线的解析式可得P点坐标,进而可求出OQ、PQ的长,由于△POQ≌△AOH,那么OH=OQ、AH=PQ,由此得到点A的坐标.
③当∠OPQ=90°,∠POQ=∠AOH=30°时,此时△QOP≌△AOH,由此求得点A的坐标;
④当∠OPQ=90°,∠POQ=∠OAH=60°,此时△OQP≌△AOH,由此求得点A的坐标;
①当∠POQ=∠OAH=60°,若以P,O,Q为顶点的三角形与△AOH全等,那么A、P重合;
由于∠AOH=30°,设A坐标为(a,b),
在直角三角形OAH中,tan∠AOH=tan30°== ,
设直线OA的方程为y=kx,把A的坐标代入得k==,
∴直线OA的解析式: y=x,联立抛物线的解析式,
得:,
解得 , ;
∴A(,);
②当∠POQ=∠AOH=30°,此时△POQ≌△AOH;
易知∠POH=60°,则直线OP:y= x,联立抛物线的解析式,得: ,
解得,;
∴P(,3),即可得A(3,);
③当∠OPQ=90°,∠POQ=∠AOH=30°时,此时△QOP≌△AOH;
易知∠POH=60°,则直线OP:y=x,联立抛物线的解析式,得:,
解得 ,;
∴P(,3),
∴OP=2,QP=2,
∴OH=OP=2,AH=QP=2,
∴A(2,2);
④当∠OPQ=90°,∠POQ=∠OAH=60°,此时△OQP≌△AOH;
此时直线OP:y=x,联立抛物线的解析式,得:,
解得 , ;
∴P(, ),
∴QP=,OP=,
∴OH=QP=,AH=OP=,
∴A(,).
综上可知:符合条件的点A有四个,且坐标为:(,),(3,),(,2),(,).
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【题目】如图,△ABC是⊙O的内接三角形,∠BAD是△ABC的一个外角,∠BAC、∠BAD的平分线分别交⊙O于点E、F.请你在图上连接EF.(1)证明:EF是⊙O的直径;(2)请你判断EF与BC有怎样的位置关系?并请证明你的结论.
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【题目】如果二次函数y=x2+(k+2)x+k+5的图象与x轴的两个不同交点的横坐标都是正的,那么k值应为( )
A. k>4或k<﹣5 B. ﹣5<k<﹣4 C. k≥﹣4或k≤﹣5 D. ﹣5≤k≤﹣4
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【题目】△ABC中,∠ACB=900,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN于E.
当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证: ≌△CBE;②DE=AD+BE;
当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,中的结论还成立吗?若成立,请给出证明;若不成立,说明理由.
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【题目】如图,在边长为12cm的正方形中,是边的中点,点从点出发,在正方形边上沿的方向以大于1 cm/s的速度匀速移动,点从点出发,在边上沿方向以1 cm/s的速度匀速移动,、两点同时出发,当点、相遇时即停止移动.设点移动的时间为t(s),正方形与的内部重叠部分面积为(cm2).已知点移动到点处,的值为96(即此时正方形与的内部重叠部分面积为96cm2).
(1)求点的速度:
(2)求与t的函数关系式,并直接写出的取值范围.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标是(20,0),点B的坐标是(16,0),点C、D在以OA为直径的半圆M上,且四边形OCDB是平行四边形,则点C的坐标为______.
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【题目】如图,二次函数图象的顶点为,其图象与轴的交点、的横坐标分别为,.与轴负半轴交于点,在下面五个结论中:
①;②;③;④只有当时,是等腰直角三角形;⑤使为等腰三角形的值可以有四个.
其中正确的结论有( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
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