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【题目】如图,在第一象限内作射线OC,与x轴的夹角为30°,在射线OC上取点A,过点AAHx轴于点H.在抛物线y=x2(x>0)上取点P,在y轴上取点Q,使得以POQ为顶点,且以点Q为直角顶点的三角形与△AOH全等,则符合条件的点A的坐标是__________

【答案】),(3,),(,2),(

【解析】

此题应分四种情况考虑:

①∠POQ=∠OAH=60°,此时A、P重合,可联立直线OA和抛物线的解析式,即可得A点坐标;

②∠POQ=∠AOH=30°,此时∠POH=60°,即直线OP:y=x,联立抛物线的解析式可得P点坐标,进而可求出OQ、PQ的长,由于△POQ≌△AOH,那么OH=OQ、AH=PQ,由此得到点A的坐标.

③当∠OPQ=90°,∠POQ=∠AOH=30°时,此时△QOP≌△AOH,由此求得点A的坐标

④当∠OPQ=90°,∠POQ=∠OAH=60°,此时△OQP≌△AOH,由此求得点A的坐标

①当∠POQ=∠OAH=60°,若以P,O,Q为顶点的三角形与△AOH全等,那么A、P重合;

由于∠AOH=30°,设A坐标为(a,b),

在直角三角形OAH中,tan∠AOH=tan30°==

设直线OA的方程为y=kx,把A的坐标代入得k==

∴直线OA的解析式: y=x,联立抛物线的解析式,

得:

解得

∴A();

②当∠POQ=∠AOH=30°,此时△POQ≌△AOH;

易知∠POH=60°,则直线OP:y= x,联立抛物线的解析式,得:

解得

∴P(,3),即可得A(3,);

③当∠OPQ=90°,∠POQ=∠AOH=30°时,此时△QOP≌△AOH;

易知∠POH=60°,则直线OP:y=x,联立抛物线的解析式,得:

解得

∴P(,3),

∴OP=2,QP=2,

∴OH=OP=2,AH=QP=2,

∴A(2,2);

④当∠OPQ=90°,∠POQ=∠OAH=60°,此时△OQP≌△AOH;

此时直线OP:y=x,联立抛物线的解析式,得:

解得

∴P( ),

∴QP=,OP=

∴OH=QP=,AH=OP=

∴A().

综上可知:符合条件的点A有四个,且坐标为:),(3,),(,2),(

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