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【题目】在平面直角坐标系中,二次函数的图象与轴正半轴交于点.

求证:该二次函数的图象与轴必有两个交点;

设该二次函数的图象与轴的两个交点中右侧的交点为点,若,将直线向下平移个单位得到直线,求直线的解析式;

的条件下,设为二次函数图象上的一个动点,当时,点关于轴的对称点都在直线的下方,求的取值范围.

【答案】解析直线 的取值范围为:

【解析】

(1)直接利用根的判别式,结合完全平方公式求出△的符号进而得出答案;
(2)首先求出B,A点坐标,进而求出直线AB的解析式,再利用平移规律得出答案;
(3)根据当-3<p<0时,点M关于x轴的对称点都在直线l的下方,当p=0时,q=1;当p=-3时,q=12m+4;结合图象可知:-(12m+4)≤2,即可得出m的取值范围.

,则

二次函数图象与轴正半轴交于点,

,且

该二次函数的图象与轴必有两个交点;

解得:

,故的坐标为

又因为

所以,即

则可求得直线的解析式为:

再向下平移个单位可得到直线

得二次函数的解析式为:

为二次函数图象上的一个动点,

关于轴的对称点的坐标为

点在二次函数上.

时,点关于轴的对称点都在直线的下方,

时,;当时,

结合图象可知:

解得:

的取值范围为:

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