Question

【题目】已知：如图所示，在△ABC中，∠C=90°，BC=5cm，AC=7cm. 两个动点P、Q分别从B、C两点同时出发，其中点P以1厘米/秒的速度沿着线段BC向点C运动，点Q以2厘米/秒的速度沿着线段CA向点A运动.

（1）P、Q两点在运动过程中，经过几秒后，△PCQ的面积等于4厘米2？经过几秒后PQ的长度等于5厘米？

（2）在P、Q两点在运动过程中，四边形ABPQ的面积能否等于11厘米2？试说明理由.

Answer 1

【答案】（1）经过1秒后，△PCQ的面积等于4厘米2；经过2秒后PQ的长度等于5厘米；（2）四边形ABPQ的面积不可能等于11厘米2.

【解析】

（1）若使其面积为4，即S△PCQ=PCQC=4，代入数据求解即可；根据勾股定理可得方程,即可求出t的值;

（2）若四边形ABPQ的面积能否等于11，即S△PCQ=-11=，建立方程，解方程看是否有解，若有，则存在.

（1）（i）设经过x秒后，△PCQ的面积等于4厘米2，此时，PC=5-x，CQ=2x.

由题意，得 ，整理，得x2-5x+4=0. 解得x1=1，x2=4.

当x=4时，2x=8＞7，此时点Q越过A点，不合题意，舍去.

即经过1秒后，△PCQ的面积等于4厘米2.

（ii）设经过t秒后PQ的长度等于5厘米. 由勾股定理，得(5-t)2+(2t)2=52 .

整理，得t2-2t=0. 解得t1=2，t2=0(不合题意，舍去).

答：经过2秒后PQ的长度等于5厘米.

（2）设经过m秒后，四边形ABPQ的面积等于11厘米2.由题意，得.整理，得m2-5m+6.5=0.

∵△=(-5)2-4×6.5=-1＜0， ∴方程没有实数根.

即四边形ABPQ的面积不可能等于11厘米2.