Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+与直线y=x交于点A，点B在直线y=x+上，∠BOA=90°．抛物线y=ax²+bx+c过点A，O，B，顶点为点E．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；
（3）设直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，直线BC交抛物线于点D，过点E作FE∥x轴，交直线AB于点F，连接OD，CF，CF交x轴于点M．试判断OD与CF是否平行，并说明理由．

Answer 1

解：（1）由直线y=x+与直线y=x交于点A，得
，
解得，，
∴点A的坐标是（3，3）．
∵∠BOA=90°，
∴OB⊥OA，
∴直线OB的解析式为y=-x．
又∵点B在直线y=x+上，
∴，
解得，，
∴点B的坐标是（-1，1）．
综上所述，点A、B的坐标分别为（3，3），（-1，1）．

（2）由（1）知，点A、B的坐标分别为（3，3），（-1，1）．
∵抛物线y=ax²+bx+c过点A，O，B，
∴，
解得，，
∴该抛物线的解析式为y=x²-x，或y=（x-）²-．
∴顶点E的坐标是（，-）；

（3）OD与CF平行．理由如下：
由（2）知，抛物线的对称轴是x=．
∵直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，
∴C（，）．
设直线BC的表达式为y=kx+b（k≠0），把B（-1，1），C（，）代入，得
，
解得，，
∴直线BC的解析式为y=-x+．
∵直线BC与抛物线交于点B、D，
∴-x+=x²-x，
解得，x₁=，x₂=-1．
把x₁=代入y=-x+，得y₁=，
∴点D的坐标是（，）．
如图，作DN⊥x轴于点N．
则tan∠DON==．
∵FE∥x轴，点E的坐标为（，-）．
∴点F的纵坐标是-．
把y=-代入y=x+，得x=-，
∴点F的坐标是（-，-），
∴EF=+=．
∵CE=+=，
∴tan∠CFE==，
∴∠CFE=∠DON．
又∵FE∥x轴，
∴∠CMN=∠CFE，
∴∠CMN=∠DON，
∴OD∥CF，即OD与CF平行．
分析：（1）由直线y=x+与直线y=x交于点A，列出方程组，通过解该方程组即可求得点A的坐标；根据∠BOA=90°得到直线OB的解析式为y=-x，则，通过解该方程组来求点B的坐标即可；
（2）把点A、B、O的坐标分别代入已知二次函数解析式，列出关于系数a、b、c的方程组，通过解方程组即可求得该抛物线的解析式；
（3）如图，作DN⊥x轴于点N．欲证明OD与CF平行，只需证明同位角∠CMN与∠DON相等即可．
点评：本题考查了二次函数综合题．其中涉及到的知识点有：待定系数法求二次函数解析式，一次函数与二次函数交点问题，平行线的判定以及锐角三角函数的定义等知识点．此题难度较大．