Question

如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，点G为对角线交点，顶点A在x轴上，顶点C的坐标为（0，6），∠COB=30°，以OC上一点P为圆心，以

3

2

为半径的圆合与OB相切于点D．
（1）求点P的坐标；
（2）判断AC和⊙P的位置关系，并说明理由；
（3）已知点E为⊙P与PC的交点，求DE的长．

Answer 1

考点：圆的综合题,含30度角的直角三角形,勾股定理,矩形的性质,切线的判定与性质,特殊角的三角函数值

专题：综合题

分析：（1）连接PD，在Rt△PDO中，知道一边、一锐角可以求出OP长，从而求出点P的坐标．
（2）过点P作PH⊥AC，垂足为H，只需求出PH长，然后比较PH与半径PD大小关系，就可得到AC和⊙P的位置关系．
（3）过点D作DF⊥OC，垂足为F，只需求出DF、EF的长，就可以求出DE的长．

解答：解：（1）连接PD，如图1所示．
∵⊙P与与OB相切于点D，
∴PD⊥OB，即∠ODP=90°．
∵∠COB=30°，PD=

3

2

，
∴OP=2PD=3．
∴点P的坐标为（0，3）．
（2）AC和⊙P相切．
理由如下：
过点P作PH⊥AC，垂足为H，如图2所示．
∵点C的坐标为（0，6），
∴OC=6．
∴PC=OC-OP=3．
∵四边形ABCD是矩形，
∴GC=GO．
∴∠GCO=∠GOC=30°．
∴PH=

1

2

PC=

3

2

，
∴PH=PD．
∴⊙P与AC相切．
（3）过点D作DF⊥OC，垂足为F，如图3所示．
在Rt△PFD中，
∵PD=

3

2

，∠FPD=90°-30°=60°，
∴sin∠FPD=

DF

DP

=

DF

3 2

=

3

2

．
∴DF=

3 3

4

．
同理：PF=

3

4

．
在Rt△DFE中，
DF=

3 3

4

，EF=PE+PF=

3

2

+

3

4

=

9

4

，
∴DE=

DF2+EF2

=

( 3 3 4 )2+( 9 4 )2

=

3 3

2

．
∴DE的长为

3 3

2

．

点评：本题考查了切线的判定与性质、矩形的性质、特殊角的三角函数值、30°所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，具有一定的综合性．