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【题目】如图,在矩形OABC中,OA=5,AB=4,点D为边AB上一点,将BCD沿直线CD折叠,使点B恰好落在边OA上的点E处,分别以OC,OA所在的直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系.

(1)求OE的长及经过O,D,C三点抛物线的解析式;

(2)一动点P从点C出发,沿CB以每秒2个单位长度的速度向点B运动,同时动点Q从E点出发,沿EC以每秒1个单位长度的速度向点C运动,当点P到达点B时,两点同时停止运动,设运动时间为t秒,当t为何值时,DP=DQ;

(3)若点N在(1)中抛物线的对称轴上,点M在抛物线上,是否存在这样的点M与点N,使M,N,C,E为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出M点坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)在RtCOE中,OE===3,抛物线解析式为y=x(x+4)=x2+x;

(2)t=

(3)存在满足条件的点M,其坐标为(2,16)或(6,16)或(2,).

【解析】

试题分析:(1)由折叠的性质可求得CE、CO,在RtCOE中,由勾股定理可求得OE,设AD=m,在RtADE中,由勾股定理可求得m的值,可求得D点坐标,结合C、O两点,利用待定系数法可求得抛物线解析式;

(2)用t表示出CP、BP的长,可证明DBP≌△DEQ,可得到BP=EQ,可求得t的值;

(3)可设出N点坐标,分三种情况EN为对角线,EM为对角线,EC为对角线,根据平行四边形的性质可求得对角线的交点横坐标,从而可求得M点的横坐标,再代入抛物线解析式可求得M点的坐标.

试题解析:(1)CE=CB=5,CO=AB=4,

在RtCOE中,OE===3,

设AD=m,则DE=BD=4m,

OE=3,

AE=53=2,

在RtADE中,由勾股定理可得AD2+AE2=DE2,即m2+22=(4m)2,解得m=

D(5),

C(4,0),O(0,0),

设过O、D、C三点的抛物线为y=ax(x+4),

∴﹣5=a(+4),解得a=

抛物线解析式为y=x(x+4)=x2+x;

(2)CP=2t,BP=52t,BD=,DE==BD=DE,

在RtDBP和RtDEQ中,

RtDBPRtDEQ(HL),

BP=EQ,

52t=t,

t=

(3)抛物线的对称轴为直线x=2,

设N(2,n),

又由题意可知C(4,0),E(0,3),

设M(m,y),

当EN为对角线,即四边形ECNM是平行四边形时,

则线段EN的中点横坐标为=1,线段CM中点横坐标为

EN,CM互相平分,

=1,解得m=2,

又M点在抛物线上,

y=×22+×2=16,

M(2,16);

当EM为对角线,即四边形ECMN是平行四边形时,

则线段EM的中点横坐标为,线段CN中点横坐标为=3,

EM,CN互相平分,

=3,解得m=6,

M点在抛物线上,

y=×6)2+×6)=16,

M(6,16);

当CE为对角线,即四边形EMCN是平行四边形时,

则M为抛物线的顶点,即M(2,).

综上可知,存在满足条件的点M,其坐标为(2,16)或(6,16)或(2,).

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型号

A

B

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2

3

单价(元)

5

6

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