【题目】已知P为
所在平面内一点，连接PA，PB，PC，在
，
和
中，若存在一个三角形与相似
全等除外
那么就称P为的共相似点”根据“共相似点“是否落在三角形的内部，边上或外部，可将其分为内共相似点”，“边共相似点或“外共相似点”．
据定义可知，等边三角形______填“存在”或“不存在共相似点
（探究）用边共相似点探究三角形的形状
如图1，若的一个边共相似点P与其对角项点B的连线，将分割成的两个三角形恰与原三角形均相似，试判断的形状，并说明理由．
（探究2）用内共相似点探究三角形的内角关系
如图2，在中，
，高线CD与角平分线BE交于点P，若P是的一个内共相似点试说明点E是的边共相似点，并直接写出
的度数；
（探究）探究直角三角形共相似点的个数
如图3，在
中，
，
，
，若与相以，则满足条件的P点共有______个
【答案】（1）不存在；（2）
是直角三角形；（3）
；（4）的“共相似点”共有8个
【解析】
根据“共相似点”的定义容易得出结论；
根据题意得：
∽
，由相似三角形的性质得出
，同理得：
，得出
，求出
即可；
根据题意得：
∽
，由相似三角形的性质得出
，
，再由角平分线角平分线定义得出
，证出
∽
，得出点E是的边共相似点；由直角三角形的性质得出
，得出
，求出
；
通过作图得出的“共相似点”共有8个，
根据“共相似点”的定义得：等边三角形不存在共相似点．
故答案为：不存在；
是直角三角形，理由如下：
根据题意得：∽，
，
同理得：，
，
解得：，
是直角三角形；
根据题意得：∽，
，，
平分
，
，
，
，
，，
∽，
点E是的边共相似点；
是的高，
，
，
，
解得：；
作
于P，则P为的“共相似点”；
过B作BC的垂线与CP的延长线的交点是的“共相似点”；
作的平分线与AC的交点
是的“共相似点”；
过C作
的垂线，垂足是的“共相似点”；
同理：以上四个的“共相似点”关于直线BC的对称点是的“共相似点”；
的“共相似点”共有8个，如图所示：
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【题目】（7分）某市“艺术节”期间，小明、小亮都想去观看茶艺表演，但是只有一张茶艺表演门票，他们决定采用抽卡片的办法确定谁去．规则如下：
将正面分别标有数字1、2、3、4的四张卡片（除数字外其余都相同）洗匀后，背面朝上放置在桌面上，随机抽出一张记下数字后放回；重新洗匀后背面朝上放置在桌面上，再随机抽出一张记下数字．如果两个数字之和为奇数，则小明去；如果两个数字之和为偶数，则小亮去．
（1）请用列表或画树状图的方法表示抽出的两张卡片上的数字之和的所有可能出现的结果；
（2）你认为这个规则公平吗？请说明理由．
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【题目】如图，点D在△ABC的边AC上，要判定△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（ ）
A. ∠ABD=∠C B. ∠ADB=∠ABC C. 
D. 
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【题目】包河区发展农业经济产业，在大圩乡种植多品种的葡萄.已知某葡萄种植户李大爷的葡萄成本为10元
，如果在未来40天葡萄的销售单价
（元）与时间
（天）之间的函数关系式为：
，且葡萄的日销售量
（千克）与时间（天）的关系如下表：
时间 | 1 | 3 | 6 | 10 | 20 | 40 |
日销售量 | 118 | 114 | 108 | 100 | 80 | 40 |
（1）请直接写出与之间的变化规律符合什么函数关系？并求在第15天的日销售量是多少千克？
（2）在后20天（即
），请求出哪一天的日销售利润最大？日销售利润最大为多少？
（3）在实际销售的前20天中，李大爷决定每销售1千克水果就捐赠
元利润（
）给留守贫困儿童作为助学金，前20天销售完后李大爷发现，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间
的增大而增大，请求出的取值范围.
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【题目】某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是
A. 在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B. 暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球
C. 掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4
D. 掷一枚一元硬币，落地后正面朝上
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【题目】已知二次函数y=a(x-m)2-2a(x-m)（a,m为常数，且a≠0）.
（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，当△ABC是等腰直角三角形时，求a的值．
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【题目】如图，一条城际铁路从A市到B市需要经过C市，A市位于C市西南方向，与C市相距40在千米，B市恰好位于A市的正东方向和C市的南偏东60°方向处．因打造城市经济新格局需要，将从A市到B市之间铺设一条笔直的铁路，求新铺设的铁路AB的长度．（结果保留根号）
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【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△AOB的直角边OA在x轴正半轴上，OB在y轴负半轴上，且OA=
，OB=1，以点B为顶点的抛物线经过点A．
（1）求出该抛物线的解析式．
（2）第二象限内的点M，是经过原点且平分Rt△AOB面积的直线上一点．若OM=2，请判断点M是否在（1）中的抛物线上？并说明理由．
（3）点P是经过点B且与坐标轴不平行的直线l上一点．请你探究：当直线l绕点B任意旋转（不与坐标轴平行或重合）时，是否存在这样的直线l，在直线l上能找到点P，使△PAB与Rt△AOB相似（相似比不为1）？若存在，求出直线l的解析式；若不存在，说明理由．
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【题目】如图，AB是⊙O的直径，点F、C在⊙O上且
， 连接AC、AF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若
， CD=4，求⊙O的半径．
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