Question

如图，抛物线y=x²-4x+3与坐标轴交于A、B、C三点，过点B的直线与抛物线交于另一点E，若经过A、B、E三点的⊙M满足∠EAM=45°，求直线BE的解析式．

Answer 1

解：令y=0，则x²-4x+3=0，
解得x₁=1，x₂=3，
∴点A（3，0），B（1，0），
令x=0，则y=3，
∴点C（0，3），
由垂径定理，点M在AB的垂直平分线上，
∴点M的横坐标为2，
设M（2，a），
∵MB=MC，
∴（2-1）²+a²=2²+（3-a）²，
解得a=2，
∴点M（2，2），
如图，连接ME，过点M作MP∥x轴，过点E作EP⊥MP于P，过点A作AQ⊥MP于Q，
∵∠EAM=45°，
∴∠AME=180°-45°×2=90°，
∴∠EMP+∠AMQ=90°，
∵∠AMQ+∠MAQ=180°-90°=90°，
∴∠EMP=∠MAQ，
在△EMP和△MAQ中，，
∴△EMP≌△MAQ（AAS），
∴EP=MQ=3-2=1，MP=AQ=2，
∴点E的横坐标为2+2=4，纵坐标为2+1=3，
∴点E的坐标为（4，3），
设直线BE的解析式为y=kx+b（k≠0），
则，
解得，
所以，直线BE的解析式为y=x-1．
分析：利用抛物线解析式求出点A、B、C的坐标，再根据垂径定理求出点M的横坐标为2，然后设M（2，a），再根据圆的半径MB=MC，利用勾股定理列式求解即可得到点M的坐标，连接ME，过点M作MP∥x轴，再过点E作EP⊥MP于P，过点A作AQ⊥MP于Q，利用“角角边”证明△EMP和△MAQ全等，根据全等三角形对应边相等可得EP=MQ，MP=AQ，然后求出点E的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答．
点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了抛物线与坐标轴的交点的求法，垂径定理，勾股定理的应用，全等三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，难点在于作辅助线构造出全等三角形并求出点E的坐标．