Question

如图，已知A、B两村庄在直角坐标系中的坐标分别为（3，1），（5，5），现有一辆长途客车正沿着x轴方向向左行驶，汽车行驶到哪个点时与A、B两村的距离之和最小？请写出这个点的坐标

 

，距离之和最小为

 

．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,坐标与图形性质

专题：

分析：作点A关于x轴的对称点A′，连接BA′交x轴于点C，则点C即为所求点；由A点坐标求出A′点坐标，利用待定系数法求出直线A′B的解析式，进而可得出C点坐标；根据勾股定理即可求得最小距离之和．

解答：解：如图所示，作点A关于x轴的对称点A′，连接BA′交x轴于点C，此时AC+BC=BA′，则点C即为所求点，BA′的长即为
与A、B两村的距离之和最小的值；
∵A（3，1），
∴A′（3，-1），
设直线A′B的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵B（5，5），
∴

3k+b=-1 5k+b=5

，
解得

k=3 b=-10

，
∴直线A′B的解析式为y=3x-10，
∵当y=0时，x=

10

3

，
∴C（

10

3

，0）．
∴BA′=

(5-3)2+(5+1)2

=2

10

，
故答案为：（

10

3

，0），2

10

．

点评：本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．