Question

如图，P是半径为4cm的圆内一点，OP=2cm，过点P的弦与圆弧组成弓形，当过点P的弦垂直于OP时，弦与其所对的劣弧组成的弓形面积最小，那么最小弓形面积是多少？

Answer 1

考点：扇形面积的计算,勾股定理,垂径定理

专题：

分析：如图，作辅助线；首先求出∠AOB的度数；求出AB的长度；借助面积公式求出扇形AOB、△OAB的面积，即可解决问题．

解答：解：连接OA、OB．
∵OP⊥AB，且OP=2，OA=4，
∴∠A=30°，∠AOP=60°，∠AOB=120°；
由勾股定理得：PA²=OA²-OP²，
∴PA=2

3

，AB=2AP=4

3

；
设扇形AOB、△OAB的面积分别为α、β；
则α=

120π×42

360

=

16π

3

，β=

1

2

AB•OP=

1

2

×4

3

×2=4

3

，
∴最小弓形面积=α-β=

16π

3

-4

3

（cm²）．

点评：该题主要考查了扇形的面积、勾股定理、垂径定理及其应用问题；解题的关键是作辅助线，灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．