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【题目】如图,正方形 ABCD 的边长为 4,E 是 BC 的中点,点 P 在射线 AD 上,过点 P 作 PF⊥AE,垂足为 F.

(1)求证:△PFA∽△ABE;

(2)当点 P 在射线 AD 上运动时,设 PA=x,是否存在实数 x,使以 P,F,E 为顶点的三角形也与△ABE

相似?若存在,求出 x 的值;若不存在,说明理由.

【答案】(1)见解析;(2)x=2x=5时,以P,F,E为顶点的三角形与ABE相似.

【解析】分析(1)在△PFA与△ABE中,易得∠PAF=∠AEB及∠PFA=∠ABE=90°;故可得△PFA∽△ABE;
(2)根据题意:若△EFP∽△ABE,则∠PEF=∠EAB;必须有PE∥AB;分两种情况进而列出关系式.

详解:证明:∵正方形ABCD

∴AD∥BC ,∠B=90°

∴∠PAF=∠AEB

∵PF⊥AE

∴∠PFA=∠B=90°

∴△PFA∽△ABE .

(2)情况1,当△EFP∽ABE时,则有∠PEF=∠EAB,

∴PE∥AB, ∵AD∥BC ∠B=90°

∴四边形ABEP为矩形

∴PA=EB=2,即x=2.

情况2,当△PFE∽△ABE时,且∠PEF=∠AEB时,

∵∠PAF=∠AEB

∴∠PEF=∠PAF,

∴PE=PA

∵PF⊥AE

∴点FAE的中点

∵AE=

,得:

∴PE=5, ∴PA= PE=5,即x=5.

∴当x=2x=5时,以P,F,E为顶点的三角形与△ABE相似.

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________

____________________________

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