Question

【题目】如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠A＝∠B＝30°，点D在线段AB上运动（点D不与A、B重合），连接CD，作∠CDE＝30°，DE交BC于点E．

(1)AB＝；

(2)当AD等于多少时，△ADC≌△BED，请说明理由；

(3)在点D的运动过程中，△CDE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求出AD的长；若不可以，说明理由.

Answer 1

【答案】(1)2；(2)当AD等于2-2时，△ADC≌△BED，理由见解析；(3)△CDE可以是等腰三角形，此时AD的长为2-2或.

【解析】

(1)过C作CM⊥AB于M，求出CM，根据勾股定理求出AM，代入AB=2AM求出即可．

(2)根据全等三角形的性质和判定得出BD=AC，求出BD，即可求出答案．

(3)分类讨论：当CD=DE时；当DE=CE时；当EC=CD时；然后利用等腰三角形的性质结合三角形内角和定理求出∠ADC或∠ACD的度数，继而根据勾股定理进行求解即可得.

(1)过C作CM⊥AB于M，

∵AC=BC，

∴AB=2AM，∠AMC=90°，

∵AC=2，∠A=30°，

∴CM=AC=1，

由勾股定理得：AM=，

∴AB=2AM=2，

故答案为：2；

(2)当AD等于2-2时，△ADC≌△BED，

理由是：∵∠A=∠CDE=∠B=30°，

∴∠ACD+∠ADC=150°，∠ADC+∠EDB=150°，

∴∠ACD=∠EDB，

∴当AC=BD时，△ADC≌△BED，

即BD=AC=2，

∴AD=AB-BD=2-2，

即得AD=2-2时，△ADC≌△BED；

(3)△CDE可以是等腰三角形，

∵△CDE是等腰三角形，

①如图1，当CD=DE时，

∵∠CDE=30°，

∴∠DCE=∠DEC=75°，

∴∠ADC=∠B+∠DCE=105°，

过点D作DF⊥AC，垂足为F，则∠AFD=∠CFD=90°

∵∠A=30°，

∴∠ADF=60°，AD=2DF，

∴∠CDF=45°，

∴∠FCD=45°=∠FDC，

∴CF=DF，

在Rt△ADF中，AF=，

∵AF+CF=AC=2，

∴DF+DF=2，

∴DF=，

∴AD=2-2；

②如图2，当DE=CE时，

∵∠CDE=30°，

∴∠DCE=∠CDE=30°，

∴∠ACD=120°-30°=90°，

∵∠A=30°，

∴CD=AD，

在Rt△ACD中，AD2=AC2+CD2，

即AD2=22+(AD)2，

∴AD=；

③当EC=CD时，

∠BCD=180°-∠CED-∠CDE=180°-30°-30°=120°，

∵∠ACB=180°-∠A-∠B=120°，

∴此时，点D与点A重合，不合题意，

综上，△ADC可以是等腰三角形，此时AD的长为2-2或AD=.