【题目】(本小题12分)如图1,已知在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠C=30°,AC=12cm,点E从点A出发沿AB以每秒1cm的速度向点B运动,同时点D从点C出发沿CA以每秒2cm的速度向点A运动,运动时间为t秒(0<t<6),过点D作DF⊥BC于点F.
(1)试用含t的式子表示AE、AD的长;
(2)如图2,在D、E运动的过程中,四边形AEFD是平行四边形,请说明理由;
(3)连接DE,当t为何值时,△DEF为直角三角形?
(4)如图3,连接DE,将△ADE沿DE翻折得到△A′DE,试问当t为何值时,四边形AEA′D为菱形?
【答案】(1)AE=t , AD=12-2t ;(2)四边形AEFD是平行四边形,理由见解析; (3)t=3秒或t=秒;(4)t=4.
【解析】
试题分析:(1)根据点E以每秒1cm的速度运动,同时点D以每秒2cm的速度运动,运动时间为t秒,可
得AE=t ,CD=2t,所以可得AD=12-2t ;(2)当DF⊥BC,且DF= AE 时,四边形AEFD是平行四边
形;(3)根据题意可知∠DFE<90°,所以分当∠EDF=90°时和当∠DEF=90°时两种情况讨论,利用直角三
角形中30°角的性质解答即可;(4)由(2)可知四边形AEFD可以是平行四边形,所以满足AE=AD可得四
边形AEA′D为菱形,然后解方程即可.
试题解析:解:(1)AE=t , AD=12-2t (2分)
(2)∵DF⊥BC,∠C=30°
∴ DF=CD=
×2t = t
∵ AE =t
∴ DF= AE
∵ ∠ABC=90°, DF⊥BC
∴ DF∥AE
∴ 四边形AEFD是平行四边形; (3分)
(3)①显然∠DFE<90°;
②如图①′,
当∠EDF=90°时,四边形EBFD为矩形,
此时 AE=AD,
∴t=(122t),
∴t=3;
③如图①″,
当∠DEF=90°时,此时∠ADE=90°
∴∠AED=90°-∠A=30°
∴AD=AE,
∴122t=t,
∴t= ;
综上:当t=3秒或t=秒时,△DEF为直角三角形; (4分)
(4)如图(3),
若四边形AEA′D为菱形,则AE=AD
∴t=12-2t
∴t=4
∴当t=4时,四边形AEA′D为菱形 (3分)
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【题目】如图,将ABCD的边AB延长到点E,使BE=AB,连接DE,交边BC于点F.
(1)求证:△BEF≌△CDF.
(2)连接BD,CE,若∠BFD=2∠A,求证四边形BECD是矩形.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,已知AB=CD,M、N、P分别是AD、BC、BD的中点∠ABD=20°,∠BDC=70°,则∠NMP的度数为( )
A. 50° B. 25° C. 15° D. 20
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【题目】如图:是某出租车单程收费y(元)与行驶路程x(千米)之间的函数关系图象,根据图象回答下列问题:
(1)当行使8千米时,收费应为 元;
(2)从图象上你能获得哪些信息?(请写出2条)
① ________
②____________________________
(3)求出收费y(元)与行使x(千米)(x≥3)之间的函数关系式.
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【题目】有一段6000米的道路由甲、乙两个工程队负责完成,已知甲工程队每天完成的工作量是乙工程队每天完成工作量的2倍,且甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独完成此项工程少用10天.
(1)求甲、乙两工程队每天各完成多少米?
(2)如果甲工程队每天需工程费700元,乙工程队每天需工程费500元,甲工程队单独施工4天后由甲乙两个工程队共同完成余下的工程,则完成此项工程共需要多少费用?
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【题目】如图,在四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点,连结AC、BD,回答问题
(1)对角线AC、BD满足条件_____时,四边形EFGH是矩形.
(2)对角线AC、BD满足条件_____时,四边形EFGH是菱形.
(3)对角线AC、BD满足条件_____时,四边形EFGH是正方形.
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【题目】如图,在△ABC中,AC=BC=2,∠A=∠B=30°,点D在线段AB上运动(点D不与A、B重合),连接CD,作∠CDE=30°,DE交BC于点E.
(1)AB=;
(2)当AD等于多少时,△ADC≌△BED,请说明理由;
(3)在点D的运动过程中,△CDE的形状可以是等腰三角形吗?若可以,求出AD的长;若不可以,说明理由.
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【题目】有依次排列的3个数:3,9,8,对任相邻的两个数,都用右边的数减去左边的数,所得之差写在这两个数之间,可产生一个新数串:3,6,9,,8,这称为第一次操作;做第二次同样的操作后也可产生一个新数串:3,3,6,3,9,
,
,9,8,继续依次操作下去,问:从数串3,9,8开始操作第一百次以后所产生的那个新数串的所有数之和是多少?
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【题目】如图在平面直角坐标系中,已知点A(0,2),△AOB为等边三角形,P是x轴负半轴上一个动点(不与原点O重合),以线段AP为一边在其右侧作等边三角形△APQ.
(1)求点B的坐标;
(2)在点P的运动过程中,∠ABQ的大小是否发生改变?如不改变,求出其大小:如改变,请说明理由;
(3)连接OQ,当OQ∥AB时,求P点的坐标.
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