Question

【题目】（本小题12分）如图1，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AC=12cm，点E从点A出发沿AB以每秒1cm的速度向点B运动，同时点D从点C出发沿CA以每秒2cm的速度向点A运动，运动时间为t秒（0＜t＜6），过点D作DF⊥BC于点F．

（1）试用含t的式子表示AE、AD的长；

（2）如图2，在D、E运动的过程中，四边形AEFD是平行四边形，请说明理由；

（3）连接DE,当t为何值时，△DEF为直角三角形？

（4）如图3，连接DE，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，试问当t为何值时，四边形AEA′D为菱形？

Answer 1

【答案】（1）AE=t ， AD=12－2t ；（2）四边形AEFD是平行四边形，理由见解析； （3）t=3秒或t＝秒；（4）t=4．

【解析】

试题分析：（1）根据点E以每秒1cm的速度运动，同时点D以每秒2cm的速度运动，运动时间为t秒，可

得AE=t ，CD=2t，所以可得AD=12－2t ；（2）当DF⊥BC，且DF= AE 时，四边形AEFD是平行四边

形；（3）根据题意可知∠DFE＜90°，所以分当∠EDF=90°时和当∠DEF=90°时两种情况讨论，利用直角三

角形中30°角的性质解答即可；（4）由（2）可知四边形AEFD可以是平行四边形，所以满足AE=AD可得四

边形AEA′D为菱形，然后解方程即可．

试题解析：解：（1）AE=t ， AD=12－2t （2分）

（2）∵DF⊥BC，∠C=30°

∴ DF=CD=×2t = t

∵ AE =t

∴ DF= AE

∵ ∠ABC=90°, DF⊥BC

∴ DF∥AE

∴ 四边形AEFD是平行四边形； （3分）

（3）①显然∠DFE＜90°；

②如图①′，

当∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形，

此时 AE=AD，

∴t＝(122t)，

∴t=3；

③如图①″，

当∠DEF=90°时，此时∠ADE=90°

∴∠AED=90°-∠A=30°

∴AD=AE，

∴122t＝t，

∴t＝ ；

综上：当t=3秒或t＝秒时，△DEF为直角三角形； （4分）

（4）如图（3），

若四边形AEA′D为菱形，则AE=AD

∴t=12－2t

∴t=4

∴当t=4时，四边形AEA′D为菱形 （3分）