Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，连结AC、BD，回答问题

（1）对角线AC、BD满足条件_____时，四边形EFGH是矩形．

（2）对角线AC、BD满足条件_____时，四边形EFGH是菱形．

（3）对角线AC、BD满足条件_____时，四边形EFGH是正方形．

Answer 1

【答案】AC⊥BD AC＝BD AC⊥BD且AC＝BD

【解析】

先证明四边形EFGH是平行四边形，

（1）在已证平行四边形的基础上，要使所得四边形是矩形，则需要一个角是直角，故对角线应满足互相垂直

（2）在已证平行四边形的基础上，要使所得四边形是菱形，则需要一组邻边相等，故对角线应满足相等

（3）联立（1）（2），要使所得四边形是正方形，则需要对角线垂直且相等

解：连接AC、BD．

∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的中点，

∴EF∥AC，EF＝AC，FG∥BD，FG＝BD，GH∥AC，GH＝AC，EH∥BD，EH＝BD．

∴EF∥HG，EF＝GH，FG∥EH，FG＝EH．

∴四边形EFGH是平行四边形；

（1）要使四边形EFGH是矩形，则需EF⊥FG，

由（1）得，只需AC⊥BD；

（2）要使四边形EFGH是菱形，则需EF＝FG，

由（1）得，只需AC＝BD；

（3）要使四边形EFGH是正方形，综合（1）和（2），

则需AC⊥BD且AC＝BD．

故答案是：AC⊥BD；AC＝BD；AC⊥BD且AC＝BD