Question

如图12-1和12-2，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E．过点A作AF⊥AE，过点C作CF∥AD，两直线交于点F．

（1）在图12-1中，证明：△ACF≌△ABE；

 

（2）在图12-2中，∠ACB的平分线交AB于点M，交AD于点N．

① 求证：四边形ANCF是平行四边形；

② 求证：ME=MA；

③ 四边形ANCF是不是菱形？若是，请证明；若不是，请简要说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠B=∠ACB=45°，

∵AD⊥BC

∴∠DAC=∠CAB=45°

∵CF∥AD

∴∠DAC=∠ACF=45°，

∴∠B=∠ACF=45°

∵AF⊥AE∴∠EAF=90°

∵∠EAF=∠EAC+∠CAF=90°

∠BAC=∠EAC+∠BAE=90°

∴∠CAF=∠BAE

∵AB=AC，

∴△ACF≌△ABE；   

（2）①证明：∵∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC

∴∠BAD=45°，

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠DAB=22.5°，

∵△ACF≌△ABE；

∴∠BAE=∠CAF=22.5°，

∵∠ACB的平分线交AB于点M

∴∠ACM=∠ACB=22.5°，

∵∠ ACM =∠CAF=22.5°

∴AF∥CN

∵AD∥FC

∴四边形ANCF是平行四边形；

②证明：∵∠BAC=90°，∠BAE=22.5°，

∴∠EAC=67.5°，

∵∠BCA=45°，

∴∠AEC=67.5°，

∵∠EAC=∠AEC=67.5°，

∴CA=CE

∵∠ACB的平分线交AB于点M

∴∠ACM=∠ECM

∵MC=MC

∴ △ACM≌△ECM

∴AM=EM        

③答：不是.

理由：∵∠CAF=22.5°，∠ACF=45°

∴FA≠FC

∴四边形ANCF不是菱形