Question

如图，正方形ABCD中，AB=2，动点E从点A出发向点D运动，同时动点F从点D出发向点C运动，点E、F运动的速度相同，当它们到达各自终点时停止运动，运动过程中线段AF、BE相交于点P，则线段DP的最小值为__________．

Answer 1

﹣1．

【考点】轨迹；圆周角定理；点与圆的位置关系．

【分析】首先判断出△ABE≌△DAF，即可判断出∠DAF=∠ABE，再根据∠ABE+∠BEA=90°，可得∠FAD+∠BEA=90°，所以∠APB=90°；然后根据点P在运动中保持∠APB=90°，可得点P的路径是一段以AB为直径的弧，设AB的中点为G，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小，最后在Rt△AGD中，根据勾股定理，求出DG的长度，再求出PG的长度，即可求出线段DP的最小值为多少．

【解答】解：如图：

，

∵动点F，E的速度相同，

∴DF=AE，

又∵正方形ABCD中，AB=2，

∴AD=AB，

在△ABE和△DAF中，

，

∴△ABE≌△DAF，

∴∠ABE=∠DAF．

∵∠ABE+∠BEA=90°，

∴∠FAD+∠BEA=90°，

∴∠APB=90°，

∵点P在运动中保持∠APB=90°，

∴点P的路径是一段以AB为直径的弧，

设AB的中点为G，连接CG交弧于点P，此时CP的长度最小，

AG=BG=AB=1．

在Rt△BCG中，DG===，

∵PG=AG=1，

∴DP=DG﹣PG=﹣1

即线段DP的最小值为﹣1，

故答案为：﹣1．

【点评】本题考查了轨迹，解答此题的关键是判断出什么情况下，DP的长度最小，利用了了全等三角形的判定和性质的应用，正方形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．