Question

已知：如图，△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB边的垂直平分线EF交BD于点E，连AE
（1）比较∠AED与∠ABC的大小关系，并证明你的结论
（2）若△ADE是等腰三角形，求∠CAB的度数．

Answer 1

分析：（1）由AB边的垂直平分线EF交BD于点E，根据线段垂直平分线的性质，可得EA=EB，即可证得∠EAB=∠EBA，则可得∠AED=2∠EBA，又由BD平分∠ABC交AC于点D，则可得∠ABC=2∠EBA，则可证得∠AED=∠ABC；
（2）设∠DBC=x°，由△ADE是等腰三角形，可求得∠EAD=∠AED=∠ABC=2x°，∠BAE=∠ABE=∠CBD=x°，则可得方程2x+3x=90，继而求得答案．

解答：解：（1）∠AED=∠ABC．
证明：∵EF垂直平分AB，
∴EA=EB，
∴∠EAB=∠EBA，
∴∠DEA=∠EBA+∠EAB=2∠EBA，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠EBA，
∴∠DEA=∠ABC；

（2）∵△ADE是等腰三角形，
∴∠EAD=∠DEA，
∵∠DEA=∠ABC，
设∠DBC=x°，
∴∠ABD=∠DBC=∠BAE=x°，
∴∠ABC=2x°；
∴∠CAB=∠BAE+∠DAE=3x°，
∵∠ABC+∠CAB=90°，
∴2x+3x=90，
解得：x=18，
∴∠CAB=3x°=54°．

点评：此题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．