Question

【题目】如图，直线AB与x轴，y轴分别交于点A（2，0），点B（0，2），动点D以1个单位长度/秒的速度从点A出发向x轴负半轴运动，同时动点E以个单位长度/秒的速度从点B出发向y轴负半轴运动，设运动时间为t秒，以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与AB相交于点F

（1）求∠OAB度数；

（2）当t为何值时，四边形ADEF为菱形，请求出此时二次函数解析式；

（3）是否存在实数t，使△AGF为直角三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）∠OAB＝60°；（2）t＝或t＝4，四边形ADEF为菱形，；（3）存在，t＝，使△AGF为直角三角形，见解析.

【解析】

（1）在Rt△BOA中，OA＝2，OB＝2，根据锐角三角函数的定义即可得出tan∠OAB的值，进而得出∠OAB的度数；

（2）证明DE∥AB，可得四边形ADEF为平行四边形，当AD＝DE时，四边形ADEF为菱形，用t表示出AD，DE的长，解方程即可得出t的值，再设顶点式可求得此时二次函数的解析式；

（3）由题意可得∠GFA＝∠BAO＝60°，∠FGA≠90°，所以使△AGF为直角三角形，只能是∠FAG＝90°，用t分别表示出AF，FG的长，根据FG＝2AF，即可得出t的值．

解：（1）∵直线AB与x轴，y轴分别交于点A（2，0），点B（0，2），∠BOA＝90°，

∴OA＝2，OB＝2，

∴tan∠OAB＝，

∴∠OAB＝60°；

（2）∵AD＝t，BE＝tm

∴，

∴DE∥AB，

∴∠EDO＝∠BAO＝60°，

∵过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与AB相交于点F，

∴四边形ADEF为平行四边形，

当AD＝DE时，四边形ADEF为菱形，

∵OD＝2﹣t或OD＝t﹣2，DE＝2OD，

∴DE＝4﹣2t或DE＝2t﹣4，

∴t＝4﹣2t或t＝2t﹣4，

解得：t＝或t＝4，

当t＝时，点E坐标为（0，），

设二次函数解析式为y＝a（x﹣2）2，

将点E坐标代入，可得a＝，

∴二次函数解析式为y＝（x﹣2）2；

当t＝4时，点E坐标为（0，），

设二次函数解析式为y＝a（x﹣2）2，

将点E坐标代入，可得a＝，

∴二次函数解析式为y＝（x﹣2）2；

（3）∵EG∥OA，

∴∠GFA＝∠BAO＝60°，

∵G在二次函数图象上，

∴∠FGA≠90°，

∴使△AGF为直角三角形，只能是∠FAG＝90°，

由对称性可得，EG＝4，

∵四边形ADEF为平行四边形，

∴EF＝AD＝t，AF＝DE＝2（2﹣t），

∵FG＝2AF，

∴4﹣t＝4（2﹣t），

解得：t＝，

∴存在实数t＝，使△AGF为直角三角形．