Question

16．如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E．
（1）求证：△DCE≌△BFE；
（2）若CD=$\sqrt{3}$，DB=2$\sqrt{3}$，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质可知AB=DC，∠A=∠C=90°，由翻折的性质可知∠AB=BF，∠A=∠F=90°，于是可得到∠F=∠C，BF=DC，然后依据AAS可证明△DCE≌△BFE；
（2）先依据勾股定理求得BC的长，由全等三角形的性质可知BE=DE，最后再△EDC中依据勾股定理可求得ED的长，从而得到BE的长．

解答 （1）∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，∠A=∠C=90°
∵由翻折的性质可知∠F=∠A，BF=AB，
∴BF=DC，∠F=∠C．
在△DCE与△BEF中，
$\left\{{\begin{array}{l}{∠F=∠C}\\{BF=CD}\\{∠BEF=∠DEC}\end{array}}\right.$
∴△DCE≌△BFE．
（2）在Rt△BDC中，由勾股定理得：BC=$\sqrt{D{B}^{2}-C{D}^{2}}$=3．
∵△DCE≌△BFE，
∴BE=DE．
设BE=DE=x，则EC=3-x．
在Rt△CDE中，CE²+CD²=DE²，即（3-x）²+（$\sqrt{3}$）²=x²．
解得：x=2．
∴BE=2．

点评 本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用、矩形的性质，依据勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．