Question

已知：如图，△ABC中，∠ACB＞∠ABC，记∠ACB-∠ABC=α，AD为△ABC的角平分线，M为DC上一点，ME与AD所在直线垂直，垂足为E．
（1）用α的代数式表示∠DME的值；
（2）若点M在射线BC上运动（不与点D重合），其它条件不变，∠DME的大小是否随点M位置的变化而变化？请画出图形，给出你的结论，并说明理由．

Answer 1

解：（1）解法一：作直线EM交AB于点F，交AC的延长线于点G．（见图1）
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2．
∵ME⊥AD，
∴∠AEF=∠AEG=90°
∴∠3=∠G．
∵∠3=∠B+∠DME，
∴∠ACB=∠G+∠GMC=∠G+∠DME，
∴∠B+∠DME=∠ACB-∠DME．
∴∠DME=（∠ACB-∠B）=；
解法二：如图2（不添加辅助线），
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2．
∵ME⊥AD，
∴∠DEM=90°，∠ADC+∠DME=90°．
∵∠ADB=∠2+∠C=90°+∠DME，
∴∠DME=∠2+∠C-90°．
∵∠ADC=∠1+∠B，
∴∠1=∠ADC-∠B．
∴∠DME=∠1+∠C-90°=（∠ADC-∠B）+∠C-90°
=∠C-∠B-（90°-∠ADC）=∠C-∠B-∠DME
∴∠DME=（∠C-∠B）=；

（2）如图3和图4，点M在射线BC上运动（不与点D重合）时，∠DME的大小不变．（点M运动到点B和点C时同理）
证法一：设点M运动到M′，过点M′作M′E′⊥AD于点E′
∵M′E′⊥AD，
∴ME∥M′E′．
∴∠DM′E′=∠DME=．
证法二：图3与图4中分别与第（1）问同理可证．
分析：（1）作直线EM交AB于点F，交AC的延长线于点G，由角平分线的性质得出∠1=∠2，根据ME⊥AD得出∠3=∠G，再由三角形外角的性质即可得出结论；
（2）设点M运动到M′，过点M′作M′E′⊥AD于点E′，再根据平行线的性质即可得出结论．
点评：本题考查的是三角形内角和定理及三角形外角的性质，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．