Question

如图，AB是⊙O的直径，直线MN过B点，D、C是⊙O上的两点，连接AD、BD、CD和BC，过点C作CE⊥AD于E，若∠ECD=∠CBN，求证：MN是⊙O的切线．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：连结AC，如图，利用垂直的定义可得∠ECD+∠EDC=90°，再根据圆周角定理得∠ADC=∠ABC，则∠ECD+∠ABC=90°，由于∠ECD=∠CBN，所以∠CBN+∠ABC=90°，于是可根据切线的判定定理得到MN是⊙O的切线．

解答：证明：连结AC，如图，
∵CE⊥AD，
∴∠CED=90°，
∴∠ECD+∠EDC=90°，
∵∠ADC=∠ABC，
∴∠ECD+∠ABC=90°，
∵∠ECD=∠CBN，
∴∠CBN+∠ABC=90°，
即∠ABN=90°，
∴直径AB⊥MN，
∴MN是⊙O的切线．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．注意把证明切线的问题转化为证明垂直的问题．