Question

【题目】边长为整数的直角三角形，若其两直角边边长是方程x2-(k+2)x+4k=0的两根，求k的值，并确定直角三角形三边之长。

Answer 1

【答案】解：设直角边为a，b（a<b），则a+b=k+2，ab=4k，因为方程的根为整数，故△=（k+2）2-16k为完全平方数。
设(k+2)2-16k=n2 ∴k2-12k+4=n2 ∴(k-6)2-n2=32
∴(k+n-6)(k-n-6)=1×32=2×16=4×8
∵k+n-6>k-n-6 ∴
解得 ，k2=15,k3=12
当k2=15时，a+b=17,ab=60 ∴a=15 ， b=12 ， c=13；当k=12时，a+b=14,ab=48
∴a=6 ， b=8 ，c=10
【解析】根据方程的根为整数，得到根的判别式为平方数，然后进行讨论求出k值，得到三角形三边的长．根据直角三角形的直角边是整数，得到方程的根是整数，所以判别式是平方数，讨论求出k的值．然后求出直角三角形三边的长．
【考点精析】利用公式法和求根公式对题目进行判断即可得到答案，需要熟知要用公式解方程，首先化成一般式．调整系数随其后，使其成为最简比．确定参数abc，计算方程判别式．判别式值与零比，有无实根便得知．有实根可套公式，没有实根要告之；根的判别式△=b2-4ac，这里可以分为3种情况：1、当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根2、当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根3、当△<0时，一元二次方程没有实数根．