Question

11．如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=15°，∠BAC=90°，以BC为斜边作等腰直角△BDC，若BC=2$\sqrt{3}$，则△BEC的面积是3-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 过E作EF⊥BC，交BC于点F，在直角三角形BDC中，由BC的长求出DB与DC的长，由三角形DCB为等腰直角三角形，由∠DBC-∠ABC求出∠DBA的度数，在直角三角形BDE中，设DE=x，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半得到BE=2x，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出DC的长，由DC-DE求出EC的长，在等腰直角三角形ECF中，求出EF的长，由BC为底边，EF为高，求出三角形BEC面积即可．

解答 解：过E作EF⊥BC，交BC于点F，
在Rt△BDC中，BC=2$\sqrt{3}$，
根据勾股定理得：DB=DC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=$\sqrt{6}$，
∵△DCB为等腰直角三角形，∠ABC=15°，
∴∠DBA=∠DBC-∠ABC=45°-15°=30°，
在Rt△BED中，BD=$\sqrt{6}$，∠DBE=30°，
设DE=x，则有BE=2x，
根据勾股定理得：BE²=BD²+DE²，即4x²=6+x²，
解得：x=$\sqrt{2}$，
∴EC=DC-DE=$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$，
∵△EFC为等腰直角三角形，
∴EF=FC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$）=$\sqrt{3}$-1，
则S_△BEC=$\frac{1}{2}$BC•EF=3-$\sqrt{3}$．
故答案为：3-$\sqrt{3}$

点评 此题考查了勾股定理，含30度直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，以及三角形面积求法，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．