Question

1．已知$\frac{1}{1×\sqrt{2}+2\sqrt{1}}$+$\frac{1}{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}$+…+$\frac{1}{n\sqrt{n+1}+（n+1）\sqrt{n}}$的值大于$\frac{19}{20}$，小于$\frac{20}{21}$，则正整数n的最大值与最小值的差等于134．

Answer 1

分析 根据分子分母同乘以有理化因式进行分析整理，再列出不等式组进行解答即可．

解答 解：原式=$\frac{2-\sqrt{2}}{4-2}$+$\frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{3}}{18-12}$+…+$\frac{（n+1）\sqrt{n}-n\sqrt{n+1}}{（n+1）^{2}n-{n}^{2}（n+1）}$，
=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{\sqrt{2}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{3}$-$\frac{\sqrt{4}}{4}$+…+$\frac{\sqrt{n}}{n}$-$\frac{\sqrt{n+1}}{n+1}$，
=1-$\frac{\sqrt{n+1}}{n+1}$，
∵它的值大于$\frac{19}{20}$，小于$\frac{20}{21}$，
∴可得1-$\frac{\sqrt{n+1}}{n+1}$＞$\frac{19}{20}$①，
1-$\frac{\sqrt{n+1}}{n+1}$＜$\frac{20}{21}$②，
由①②联立不等式组，解得：307≤n≤441
即正整数n的最大值是441，最小值是307．
∴441-307=134．
故答案是：134．

点评 此题考查分母有理化问题，注意分子分母同乘以有理化因式是解题关键．