Question

如图，将矩形ABCD的一边CD沿DE折叠，使点C落在AE上，
（1）如图1，若折痕DE=2，且tan∠DAF=，求矩形ABCD的周长；
（2）如图2，过点F作FM∥AB，交BC于M，在AD边的延长线上截取DN=EM，连接EN、AC．求证：AC⊥EN．

Answer 1

解：（1）由 tan∠DAF=，可设DF=3x，AF=4x，
在Rt△ADF中，AD==5x，
由矩形及折叠的性质可得：CD=DF=AB，
∵在△ADF和△AEB中，
，
∴△ADF≌△EAB，
∴AE=AD=5x，BE=AF=4x，
∴EC=BC-BE=AD-BE=x，
在△DCE中，DE²=CE²+CD²，即（2）²=x²+（3x）²，
解得：x=，
则矩形的周长为=2（AB+AD）=16x=16．

（2）连接DM交AC于H，延长DF交BC于K，

∴===，
∵∠KFM=∠FEM（同角的余角相等，都是∠EFM的余角），
∴∠DFM=∠AEC（等角的补角相等），
∴△DFM∽△AEC，
∴∠EAC=∠FDM，
∵∠EAC+∠AHF=90°，∠AHF=∠DHP，
∴∠FDM+∠DHP=90°，
∴DM⊥AC，
∵DNME，
∴四边形DMEN是平行四边形，
∴AC⊥EN．
分析：（1）设DF=3x，AF=4x，可求出AD，证明△ADF≌△EAB，从而确定EC的长度，在Rt△DCE中利用勾股定理可求出x的值，继而得出矩形的周长；
（2）连接DM交AC于H，延长DF交BC于K，通过证明△DFM∽△AEC，得到∠EAC=∠FDM，继而证明DM⊥AC，容易判断四边形DMEN是平行四边形，继而可得结论．
点评：本题考查了翻折变换的知识，涉及了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及平行四边形的判定，综合性较强，解答本题需要将所学的知识融会贯通．