Question

17．已知抛物线L₁经过A（0，3），B（3，0），C（4，3），将抛物线L₁向上平移得到抛物线L₂，使L₂的顶点恰好落在x轴上
（1）求抛物线L₂的解析式及对称轴；
（2）求两抛物线和它们的对称轴及y轴所围成的阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）把点A、B、C代入抛物线解析式y=ax²+bx+c利用待定系数法求解即可；
（2）把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标与对称轴，然后根据顶点坐标求出向上平移的距离，再根据阴影部分的面积等于平行四边形的面积，列式进行计算即可得解．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{c=3}\\{9a+3b+c=0}\\{16a+4b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
所以抛物线的函数表达式为y=x²-4x+3；

（2）∵y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴抛物线的顶点坐标为（2，-1），对称轴为直线x=2；
∴PP′=1，
阴影部分的面积等于平行四边形A′APP′的面积，
平行四边形A′APP′的面积=1×2=2，
∴阴影部分的面积=2．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，（3）根据平移的性质，把阴影部分的面积转化为平行四边形的面积是解题的关键．